Математические основы цифровой обработки сигнала

Практика 2

назад

 
  1. Z-преобразование

Прямое Z-преобразование

Прямым Z-преобразованием функции называют преобразование вида (1) , где:

- последовательность дискретных отсчетов;

- z-изображение функции - результат Z-преобразования.

Пример:

Пусть

Тогда Z- изображение

При решении задач будем рассматривать числовые последовательности как функции только параметра - нормированного времени. В этом случае Z-преобразование определяется соотношением:

(2)

Основные свойства Z-преобразования:

1. Линейность.

Если , то (3)

2. Запаздывание.

Если, то (4)

3. Дискретная свертка.

Если , (5)

то

Задача №1.

Дана последовательность дискретных отсчетов . Выполнить Z-преобразование.

Решение:

Возможны три формы записи Z-преобразования:

1) - развернутая сумма

2) - сумма

3) - дробь (По формуле для бесконечной геометрической прогрессии ).

Все формы записи являются равноправными. Любое Z-преобразование может быть представлено хотя бы в одной форме записи.

Задача №2.

Найти z-преобразование последовательности

Решение.

Запишем числовую последовательность и применим формулу (2). Для данной последовательности существуют все три формы записи z-изображения.

Рассмотрим теперь другую последовательность

В этом случае

Из равенства видно, что - это , задержанное на один шаг. К такому же выводу можно прийти, сравнивая и

Задача №3.

Записать z-преобразование дискретного сигнала

Решение:

.

Решим эту задачу, используя свойство линейности.

Пусть , , тогда

Тогда , где - бесконечная сумма , а - задержанная на N шагов такая же бесконечная сумма .

.

Задача №4

Выполнить линейную свертку входного сигнала и импульсной характеристики

Решение.

Определим длину выходной последовательности по формуле (6), где

- длина входной последовательности,

- длина импульсной характеристики.

Найдем ,

Мы видим, что число слагаемых для каждого отсчета изменяется от до , где , т.к. .

Механизм вычисления отсчетов реакции по формуле свертки можно представить как последовательное вычисление сумм локальных произведений двух последовательностей – входного сигнала и импульсной характеристики. При этом последовательность фиксирована, а отображается зеркально и скользит слева направо.

Вычисление отсчета

Вычисление отсчета

Вычисление отсчета

Вычисление отсчета

Вычисление отсчета

 

Свертке соответствует умножение Z-преобразований

Этому z-преобразованию соответствует .

 

Обратное Z-преобразование.

Задача восстановления оригинала по известному изображению решается при помощи обратного Z-преобразования:

. (6)

Непосредственно решить такой интеграл довольно сложно, а в большинстве случаев невозможно. Существуют более простые способы нахождения обратного Z-преобразования:

Рассмотрим вычисление обратного Z-преобразования с помощью таблицы соответствия. Когда все очень просто, этой сумме соответствует массив . Если же изображение представлено в виде дроби, то необходимо привести его к такому виду, оригинал которого определяется по таблице соответствия. Один из путей – последовательное деление полинома числителя на знаменатель с поочередным выделением слагаемых вида .

Пример.

Таблица соответствий

 

Последовательность

z-изображение

1.

1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 1

Задана последовательность . Записать Х(z).

(Ответ: )

Задача 2

, Найти F(z)=A*X(z)+B*Y(z), A=2 ,B=3

(Ответ: )

Задача 3

, y(n)= x(n-2 ). Определить Y(z). (Ответ: )

Задача 4

, Определить , Y(z)=X(z)*H(z).

(Ответ: , )

Задача 5

Выполнить обратное z-преобразовании функции

(Ответ: )

 


назад