Математические основы цифровой обработки сигнала |
Практика 4 |
IV. Импульсная характеристика, передаточная функция, частотные характеристики линейной дискретной цепи.
Импульсной характеристикой линейной дискретной цепи называется ее реакция на дискретную дельта-функцию
при нулевых начальных условиях.
(1)
Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции при отсутствии воздействия.
Задача №1
Определить импульсную характеристику цепи по разностному уравнению:
Решение:
Все последующие отсчеты
Определить импульсную характеристику цепи по разностному уравнению:
Решение:
Передаточная функция - это отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.
Применим z-преобразования к разностному уравнению:
Получим
В передаточной функции можно выделить рекурсивную и нерекурсивную части:
При записи передаточных функций сложных цепей учитывает правила преобразования структурных схем:
Каскадное соединение
Параллельное соединение
Соединение с обратной связью
Частотная характеристика
линейной дискретной цепи,
где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),
- фазочастотная характеристика (ФЧХ).
Задача №3.
Составить передаточную функцию системы.
Решение:
- нерекурсивная цепь.
Составить системную функцию. Записать разностное уравнение. Найти импульсную характеристику. Проверить устойчивость системы.
Решение:
- передаточная функция системы.
Перейдем от нее к разностному уравнению:
Этому уравнению соответствует разностное уравнение:
Импульсную характеристику можно получить, пользуясь разностным уравнением, или по передаточной функции путем деления полинома числителя на знаменатель
Для проверки устойчивости цепи полином знаменателя приравнивают к нулю и находят полюса функции
. Для устойчивой цепи
.
Избавимся от отрицательных степеней, умножив обе части уравнения на и после этого определим корни.
Условие выполняется, значит цепь устойчива.
Составить передаточную функцию и рассчитать частотную характеристику цепи.
Решение:
При нахождении частотной характеристики:
Расчет необходимо вести подробно, оформляя таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для схемы из задачи №3 определить сигнал на выходе цепи, если на вход ей подать
Решение:
Запишем z-преобразование последовательности :
Z-изображение сигнала на выходе , т.к. по определению
Другой путь:
Определяем импульсную характеристику , выполняя деление числителя
на знаменатель.
Для достижения необходимой точности при вычислении выходного сигнала в импульсной характеристике надо учесть все отсчеты, значения которых превышают 5% от максимального значения .
Следовательно
Реакцию цепи вычислим с помощью линейной дискретной свертки ,