Математические основы цифровой обработки сигнала

Практика 6

назад

 

VI. Квантование сигналов. Шумы округления. Масштабирование сигналов.

Квантование сигналов. Шумы округления.

Сигнал, поступающий в дискретную цепь, проходит через умножители, на выходе которых результат получается в виде кода (двоичного), разрядная сетка которого больше разрядной сетки и сигнала и умножителя.

Для дальнейшей его обработки длина кодового слова должна быть уменьшена до принятого в дискретной цепи размере разрядной сетки с помощью процедуры округления.

Поэтому сигнал на выходе умножителя можно представить как сумму - разрядного кодового слова и некоторого слабого сигнала (отбрасываемого в процессе округления), который можно назвать шумом округления. Будем считать, что шумы округления на выходе разных умножителей некоррелированные.

Шум каждого из умножителей некоррелирован и со входной последовательностью.

Ошибки округления является стационарным случайным процессом с равномерным законом распределения.

Квадрат дисперсии ошибок округления , (1)

где - длина разрядной сетки двоичного кода.

В фильтрах с фиксированной запятой дисперсия шума округления на выходе от каждого из источников (масштабные усилители) определяется по формулам: , (2)

где - шаг квантования -разрядной сетки умножителя

-импульсная характеристика части дискретной цепи от выхода -го умножителя до выхода цепи.

Дисперсия результирующего шума на выходе от всех L умножителей

(3)

Задача №1.

Определить дисперсию шума на выходе цепи с передаточной функцией

Разрядность АЦП (т.е. разрядность сигнала на входе дискретной цепи) равна 8. Разрядность умножителей примем равной 10.

Решение:

Изобразим шумовую модель цепи. Источниками шума в данной цепи будут АЦП и четыре масштабных умножителя.

Импульсная характеристика цепи (от входа до выхода ) была найдена в задаче№1 практического занятия 5.

Дисперсия шума АЦП (8 разрядов)

Дисперсия шума на выходе 10-разрядных умножителей

Шумы АЦП , а также проходят на вход через всю цепь (как и входной сигнал), поэтому для вычисления дисперсии шума от них необходимо найти

Сигнал от источника шума попадает на выход через сумматор, а импульсная характеристика этой части . Поэтому “шумовое уравнение” - формула, описывающая алгоритм формирования шума на выходе, имеет вид:

В этом результате - шум от АЦП и - шум умножителей.

Задача №2.

Определить дисперсию шума на выходе цепи с той же передаточной функцией, но при реализации ее в виде каскадного соединения 2-х звеньев 1-го порядка.

Решение:

Корни полинома числителя

Этот нули функции

Полином числителя:

Для знаменателя

  1. При составлении передаточной функции 1-го порядка следует объединять в дроби ближайшие друг к другу нули и полюсы.
  2. Передаточные функции следует располагать в порядки возрастания добротности полюсов.

Схема при каскадном соединении звеньев:

В этой схеме 3 разных пути прохождения шумов на выход цепи:

  1. через всю цепь с для источников .
  2. через 2-е звено с для источников .
  3. напрямую через сумматор для источника
.

Соответствующие им импульсные характеристики

Сейчас, как и ранее, разрядность АЦП равна 8, , а разрядность всех умножителей равна 10,

Запишем шумовые уравнения

Можно показать, что дисперсия, обусловленная шумами умножителей самой цепи, составляет , что меньше, чем для предыдущей схемы.

 

Масштабирование сигналов.

При сложении в сумматоре с фиксированной запятой ошибок округления не возникает, но возможно переполнение регистров и выходной сигнал будет существенно искажен. Для предотвращения этого сигнал на входе ослабляют, но так, чтобы не слишком ухудшить соотношение сигнал/шум на выходе цепи. Возможны 3 подхода к выбору коэффициентов передачи масштабирующих усилителей.

  1. из условия ограничения максимума сигнала;
  2. из условия ограничения энергии сигнала;
  3. из условия ограничения максимума усиления цепи.

 

Задача №3.

Определить значение масштабного множителя на входе цепи с передаточной функцией

из условия ограничения максимума сигнала.

Решение:

Расчет ведется на наихудший случай – ни при каких условиях (наиболее неблагоприятный сигнал ) не должно произойти переполнение сумматоров.

(4)

В схеме два сумматора. На 1-й сумматор подается сигнал, сформированный рекурсивной частью цепи, имеющей

Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика

Рассчитаем коэффициент передачи масштабного усилителя для защиты выхода 1-го сумматора:

На вход 2-го сумматора поступает сигнал, проходящий через всю цепь, импульсная характеристика которой

Чтобы не перегружался его вход

Из 2-х вариантов выбираем наименьшее значение, чтобы обеспечить защиту сразу обоих сумматоров.

Целесообразно принять ,что реализуется как смещение числового кода на входе цепи на 1 разряд вправо.

Задача №4.

Определить значение коэффициента передачи масштабного усилителя из условия ограничения энергии сигнала.

Решение:

Мы можем сделать переполнение маловероятным, ограничив уровень мощности сигнала на выходе сумматора.

(5)

Для 1-го сумматора

Для2-го сумматора

Из 2-х значений выбираем наименьший , а реализовать можно либо его, либо, как и ранее, взять

Задача №5.

Определить значение , исходя из условия ограничения максимума усиления цепи.

Решение:

Мы можем уменьшить вероятность частных искажений (за счет резонанса), потребовав, чтобы максимальное значение АЧХ цепи с учетом масштабного усилителя не превышало 1.

(6)

Частотная характеристика рекурсивной части цепи, формирующая сигнал на выходе 1-го сумматора:

Заменим , получим

Полюсы функций . Максимум АЧХ определяется частотой полюса, имеющего мах добротность и соответствует частоте .

На этой частоте

Следовательно

Для 2-го сумматора

Полюсы этой функции те же, и расчет показал, что максимального значения достигает на частоте

Поэтому

Из 2-х значений выбираем наименьшее .

Реализуем , как более простой вариант.

Примечание.

В общем случаене всегда принимает максимальное значение на частоте, соответствующей собственной частоте полюса с максимальной добротностью. Это связано с влиянием нулей функции на. Для точного нахождения частоты , при которой , необходимо рассчитать и построить график АЧХ .


назад