Математические основы цифровой обработки сигнала

Практика 3

назад

 

III. Дискретное преобразование Фурье. Разностные уравнения цепи.

Дискретное преобразование Фурье.

Рассмотрим алгоритм вычисления непрерывного спектра конечной последовательности в дискретных точках. Учитывая свойство периодичности спектра , целесообразно его вычислять в дискретных точках на периоде . Остается выяснить вопрос о количестве точек, ведь их недостаточность может привести к пропуску важной информации, а избыточность – к неоправданному возрастанию объема вычислений.

Ответ на вопрос дает теорема Котельникова.

Теорема Котельникова в частотной области: непрерывный спектр конечного сигнала полностью определяется последовательностью своих отсчетов в частотной области, взятых с интервалом (в данном случае на периоде ), где (1).

ДПФ (2)

ОДПФ (3)

Свойства ДПФ, позволяющие легко вычислять спектр дискретного сигнала:

1)Число отсчетов на интервале и число коэффициентов ДПФ на интервале одно и то же и равно.

2) Линейность. Сумма сигналов (одинаковой длины и с одинаковым периодом) соответствует сумме их коэффициентов ДПФ.

3)Коэффициент равен сумме отсчетов за период .

4)Если N-четное число, то коэффициенты ДПФ с номерами - сумма знакопеременных отсчетов .

5)Если - вещественные числа, то коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно образуют комплексно-сопряженные пары. Т.е. достаточно вычислить отсчеты с номерами , а вторая половина записывается как комплексно-сопряженные числа.

6)Для получения модуля спектральной плотности на частоте, соответствующей какой-то из дискретных частот, нужно соответствующие коэффициенты ДПФ умножить на Т- период дискретизации.

Задача №1.

Найти коэффициенты ДПФ сигнала

Решение:

По формулам ДПФ:

Задача №2.

Применить прямое ДПФ к сигналу и ОДПФ к полученным коэффициентам ДПФ.

Решение:

Коэффициент можно и не вычислять, т.к. его номер 3, он симметричен коэффициенту с номером 1 относительно . Коэффициент является комплексно-сопряженным числом для коэффициента

Рассчитаем отсчеты по найденным коэффициентам ДПФ с помощью формулы ОДПФ.

Результат совпадает с заданным .

 

Задача №3.

Найти коэффициенты ДПФ .

Решение:

знакопеременная сумма отсчётов.

можно в соответствии со свойствами ДПФ записать:

- мнимая часть числа равна нулю.

Все коэффициенты ДПФ оказались вещественными числами. В этом случае к ОДПФ можно применить все свойства ДПФ, не забыв только разделить результат на .

Разностные уравнения цепи.

Если известны параметры линейной дискретной системы, то взаимосвязь между входным воздействием и реакцией описывается разностным уравнением.

, (4)

где коэффициенты уравнения (вещественные константы),

, - воздействие и реакция (вещественные или комплексные сигналы),

значения задержек для воздействия и реакции,

число прямых связей,

число обратных связей

воздействие и реакция, задержанные на и периодов дискретизации соответственно.

Для нормированного времени () разностное уравнение принимает вид:

. (5)

Разностное уравнение имеет прямую аналогию с линейным дифференциальным уравнением, описывающим соотношение вход-выход аналоговой линейной системы:

, (6)

где коэффициенты уравнения (вещественные константы), определяющие структуру аналоговой линейной системы.

Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов разностного уравнения, описывающего ее соотношение вход-выход, не равен нулю.

Порядком рекурсивной линейной дискретной цепи называют величину (7)

Структурная схема линейной дискретной цепи отображает алгоритм вычисления реакции, т.е. разностное уравнение.

Элементная база линейной дискретной цепи:

Масштабный умножитель

Многовходовой сумматор

Блок памяти с задержкой на один такт Т (период дискретизации)

Сигнал на выходе дискретной цепи формируется как сумма нескольких отсчетов входногои нескольких отсчетов выходного сигналов.

В самом общем случае

(8)

Изобразим прямую структурную схему, соответствующую разностному уравнению:

Формулы и рисунок делятся на 2 части:

  1. слагаемое, независящее от:
нерекурсивная часть.

2) слагаемое, зависящее только от : рекурсивная часть.

От перемены мест слагаемых результат, т.е. не изменится, поэтому и в формуле и в схеме сначала можно поставить рекурсивную часть, а затем - нерекурсивную. Объединив блоки памяти с задержкой, получаем каноническую схему, имеющую меньшее количество элементов Т и меньший коэффициент шума.

Каноническая схема дискретной цепи:

Структурная схема называется канонической, если число элементов задержки равно порядку цепи.

Задача №4.

Записать разностное уравнение, если задана структурная схема дискретной цепи. Изобразить прямую структурную схему цепи.

Решение:

Разностное уравнение должно отображать все пути прохождения входного сигнала через цепь. Необходимо помнить, что при каскадном включении масштабных умножителей их коэффициенты перемножаются.

Прямая структурная схема линейной дискретной цепи первого порядка:

Задача №5.

Определить сигнал на выходе цепи, если . Изобразить прямую структурную схему цепи.

Решение:

Данная схема содержит блок памяти с задержкой на два такта 2Т, что соответствует последовательному включению двух блоков памяти с задержкой на один такт Т:

Для того, чтобы определить сигнал на выходе цепи, необходимо записать разностное уравнение:

Отсчеты сигнала на выходе цепи:

Изобразим прямую структурную схему второго порядка. При заданном разностном уравнении в общей схеме не рисуют масштабный умножитель, коэффициент которого равен нулю. Умножитель, коэффициент которого равен единице, заменяют линией связи.

Задача №6.

Записать разностное уравнение, если задана структурная схема дискретной цепи. Изобразить каноническую структурную схему цепи.

Решение:

В данной схеме выходной сигнал - это сигнал с выхода сумматора , задержанный на один такт.

Каноническая структурная схема линейной дискретной цепи второго порядка.

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 1

Найти коэффициенты ДПФ сигнала

(Ответ: )

Задача 2

Выполнить ОДПФ для

(Ответ: )

Задача 3

Определить сигнал на выходе цепи, если .

(Ответ:

)

Задача 4

Определить порядок линейной дискретной цепи.

(Ответ: система второго порядка)

 


назад