Математические основы цифровой обработки сигнала |
Практика 6 |
VI. Квантование сигналов. Шумы округления. Масштабирование сигналов.
Квантование сигналов. Шумы округления.
Сигнал, поступающий в дискретную цепь, проходит через умножители, на выходе которых результат получается в виде кода (двоичного), разрядная сетка которого больше разрядной сетки и сигнала и умножителя.
Для дальнейшей его обработки длина кодового слова должна быть уменьшена до принятого в дискретной цепи размере разрядной сетки с помощью процедуры округления.
Поэтому сигнал на выходе умножителя можно представить как сумму - разрядного кодового слова и некоторого слабого сигнала (отбрасываемого в процессе округления), который можно назвать шумом округления. Будем считать, что шумы округления на выходе разных умножителей некоррелированные.
Шум каждого из умножителей некоррелирован и со входной последовательностью.
Ошибки округления является стационарным случайным процессом с равномерным законом распределения.
Квадрат дисперсии ошибок округления , (1)
где - длина разрядной сетки двоичного кода.
В фильтрах с фиксированной запятой дисперсия шума округления на выходе от каждого из источников (масштабные усилители) определяется по формулам: , (2)
где - шаг квантования
-разрядной сетки умножителя
-импульсная характеристика части дискретной цепи от выхода
-го умножителя до выхода цепи.
Дисперсия результирующего шума на выходе от всех L умножителей
(3)
Определить дисперсию шума на выходе цепи с передаточной функцией
Разрядность АЦП (т.е. разрядность сигнала на входе дискретной цепи) равна 8. Разрядность умножителей примем равной 10.
Решение:
Изобразим шумовую модель цепи. Источниками шума в данной цепи будут АЦП и четыре масштабных умножителя.
Импульсная характеристика цепи (от входа до выхода ) была найдена в задаче№1 практического занятия 5.
Дисперсия шума АЦП (8 разрядов)
Дисперсия шума на выходе 10-разрядных умножителей
Шумы АЦП , а также
проходят на вход через всю цепь (как и входной сигнал), поэтому для вычисления дисперсии шума от них необходимо найти
Сигнал от источника шума попадает на выход через сумматор, а импульсная характеристика этой части
. Поэтому “шумовое уравнение” - формула, описывающая алгоритм формирования шума на выходе, имеет вид:
В этом результате - шум от АЦП и
- шум умножителей.
Определить дисперсию шума на выходе цепи с той же передаточной функцией, но при реализации ее в виде каскадного соединения 2-х звеньев 1-го порядка.
Решение:
Корни полинома числителя
Этот нули функции
Полином числителя:
Для знаменателя
Схема при каскадном соединении звеньев:
В этой схеме 3 разных пути прохождения шумов на выход цепи:
Соответствующие им импульсные характеристики
Сейчас, как и ранее, разрядность АЦП равна 8, , а разрядность всех умножителей равна 10,
Запишем шумовые уравнения
Можно показать, что дисперсия, обусловленная шумами умножителей
самой цепи, составляет , что
меньше, чем для предыдущей схемы.
Масштабирование сигналов.
При сложении в сумматоре с фиксированной запятой ошибок округления не возникает, но возможно переполнение регистров и выходной сигнал будет существенно искажен. Для предотвращения этого сигнал на входе ослабляют, но так, чтобы не слишком ухудшить соотношение сигнал/шум на выходе цепи. Возможны 3 подхода к выбору коэффициентов передачи масштабирующих усилителей.
Определить значение масштабного множителя на входе цепи с передаточной функцией
из условия ограничения максимума сигнала.
Решение:
Расчет ведется на наихудший случай – ни при каких условиях (наиболее неблагоприятный сигнал ) не должно произойти переполнение сумматоров.
(4)
В схеме два сумматора. На 1-й сумматор подается сигнал, сформированный рекурсивной частью цепи, имеющей
Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика
Рассчитаем коэффициент передачи масштабного усилителя для защиты выхода 1-го сумматора:
На вход 2-го сумматора поступает сигнал, проходящий через всю цепь, импульсная характеристика которой
Чтобы не перегружался его вход
Из 2-х вариантов выбираем наименьшее значение, чтобы обеспечить защиту сразу обоих сумматоров.
Целесообразно принять ,что реализуется как смещение числового кода на входе цепи на 1 разряд вправо.
Определить значение коэффициента передачи масштабного усилителя из условия ограничения энергии сигнала.
Решение:
Мы можем сделать переполнение маловероятным, ограничив уровень мощности сигнала на выходе сумматора.
(5)
Для 1-го сумматора
Для2-го сумматора
Из 2-х значений выбираем наименьший , а реализовать можно либо его, либо, как и ранее, взять
Определить значение , исходя из условия ограничения максимума усиления цепи.
Решение:
Мы можем уменьшить вероятность частных искажений (за счет резонанса), потребовав, чтобы максимальное значение АЧХ цепи с учетом масштабного усилителя не превышало 1.
(6)
Частотная характеристика рекурсивной части цепи, формирующая сигнал на выходе 1-го сумматора:
Заменим , получим
Полюсы функций . Максимум АЧХ определяется частотой полюса, имеющего мах добротность
и соответствует частоте
.
На этой частоте
Следовательно
Для 2-го сумматора
Полюсы этой функции те же, и расчет показал, что максимального значения достигает на частоте
Поэтому
Из 2-х значений выбираем наименьшее .
Реализуем , как более простой вариант.
Примечание.
В общем случаене
всегда принимает максимальное значение на частоте, соответствующей собственной
частоте полюса с максимальной добротностью. Это связано с влиянием нулей функции
на
. Для точного нахождения частоты
, при которой
,
необходимо рассчитать и построить график АЧХ
.