Математические основы цифровой обработки сигнала

Практика 5

назад

 

V. Кодирование чисел. Квантование коэффициентов цепи. Влияние ошибки квантования на характеристики цепи.

При реализации устройств ЦОС на микропроцессорах используется запись чисел в двоичном коде с фиксированной запятой, при этом все арифметические операции выполняются с числами , по абсолютному значению меньшими единицы

(1)

При квантовании чисел (представлении их в двоичной системе счисления с ограниченным числом разрядов) различают два вида ошибок:

  1. Усечение до разрядов- это отбрасывание младших разрядов.
  2. Округление до разрядов означает сохранения значения этого разряда или увеличение его на 1 в зависимости от того, больше чем
или меньше его отбрасываемая часть.

В дальнейшем будем считать, что при квантовании используется процедура округления.

Задача №1.

Оценить влияние конечной разрядности коэффициентов цепи на основные характеристики цепи (импульсную характеристику, АЧХ), если при записи их используется 8-разрядный двоичный код

Решение:

Изобразим каноническую структурную схему в соответствии с исходными данными.

 

 

Представим коэффициенты в виде 8-разрядного двоичного кода. В этом случае разрядная сетка содержит один знаковый разряд и восемь числовых. Запятая зафиксирована между знаковым и числовыми разрядами. Значение знакового разряда равно нулю, если коэффициент положителен, и единице в противном случае.

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в двоичную необходимо последовательно умножать данную дробь на 2 (перемножая только дробные части), и выписать последовательно все целые части полученных произведений, начиная с первого. Нам при расчете необходимо получить восемь числовых разрядов плюс один дополнительный для выполнения операции округления.

Коэффициент реализуется как провод и кодирования не требует.

Коэффициент в двоичном коде - погрешность при записи его .

Коэффициент

0,24

0,48

0,96

1,92

1,84

1,68

1,36

0,72

1,44

0,88

 

0

0

1

1

1

1

0

1

0

Запишем в двоичном коде и выполним операцию округления. Для этого к полученному числу прибавим единицу в дополнительном разряде, а затем дополнительный разряд отбросим.

Восстановление этого коэффициента в десятичной системе

Для остальных коэффициентов:

Относительная погрешность при записи коэффициентов масштабирующих усилителей в 8-и разрядном двоичном коде составит:

Оценка влияния ошибки квантования на импульсную характеристику цепи.

Определим импульсную характеристику для заданной функции.

Для функции, реализованной 8-ми разрядным кодом

Сравнивая отсчеты импульсных характеристик, устанавливаем величины погрешности для каждого из отсчетов.

Погрешность отсчетов импульсной характеристики превысила допуск в 1% и поэтому следует увеличить на 1-2 разряда длину двоичного кода и выполнить все вычисления заново.

Оценка влияния ошибки квантования на частотную характеристику цепи.

Относительная величина чувствительности к каждому из коэффициентов определяется по формуле

(2)

и показывает во сколько раз относительное уменьшение передаточной функции цепи больше относительного изменения параметра (коэффициента).

Наибольшее влияние на АЧХ цепи изменяющийся параметр (коэффициент) оказывает на частоте, равной собственной частоте полюса функции ,имеющего максимальную добротность.

Найдем полюса функции и определим их добротность.

Если значение полюса – вещественное число (), то добротность

. (3)

Если значение полюса –комплексное число (), то добротность . (4)

Для рассматриваемой цепи полином знаменателя

имеет корни

Полюс имеет большую добротность. Определим собственную частоту полюса из условия: ;

Максимальная чувствительность АЧХ имеет в точке

Поскольку

, (5)

то подстановкой , получаем комплексное число, где вещественная часть - чувствительная АЧХ.

 

;

;

;

;

;

Погрешности в записи коэффициентов мы получили выше:

Погрешность АЧХ от неточного задания каждого из коэффициентов составит

Среднеквадратическая погрешность АЧХ цепи составит

 


назад