Математические основы цифровой обработки сигнала |
Практика 2 |
Z-преобразование
Прямое Z-преобразование
Прямым Z-преобразованием функции называют преобразование вида
(1) , где:
- последовательность дискретных отсчетов;
- z-изображение функции
- результат Z-преобразования.
Пример:
Пусть
Тогда Z- изображение
При решении задач будем рассматривать числовые последовательности как функции только параметра - нормированного времени. В этом случае Z-преобразование определяется соотношением:
(2)
Основные свойства Z-преобразования:
1. Линейность.
Если , то
(3)
2. Запаздывание.
Если, то
(4)
3. Дискретная свертка.
Если , (5)
то
Задача №1.
Дана последовательность дискретных отсчетов . Выполнить Z-преобразование.
Решение:
Возможны три формы записи Z-преобразования:
1) - развернутая сумма
2) - сумма
3) - дробь (По формуле для бесконечной геометрической прогрессии
).
Все формы записи являются равноправными. Любое Z-преобразование может быть представлено хотя бы в одной форме записи.
Задача №2.
Найти z-преобразование последовательности
Решение.
Запишем числовую последовательность и применим формулу (2). Для данной последовательности существуют все три формы записи z-изображения.
Рассмотрим теперь другую последовательность
В этом случае
Из равенства видно, что
- это
, задержанное на один шаг. К такому же выводу можно прийти, сравнивая
и
Задача №3.
Записать z-преобразование дискретного сигнала
Решение:
.
Решим эту задачу, используя свойство линейности.
Пусть ,
, тогда
Тогда , где
- бесконечная сумма
, а
- задержанная на N шагов такая же бесконечная сумма
.
.
Выполнить линейную свертку входного сигнала и импульсной характеристики
Решение.
Определим длину выходной последовательности по формуле (6), где
- длина входной последовательности,
- длина импульсной характеристики.
Найдем ,
Мы видим, что число слагаемых для каждого отсчета изменяется от
до
, где
, т.к.
.
Механизм вычисления отсчетов реакции по формуле свертки можно представить как последовательное вычисление сумм локальных произведений двух последовательностей – входного сигнала и импульсной характеристики. При этом последовательность
фиксирована, а
отображается зеркально и скользит слева направо.
Вычисление отсчета
Вычисление отсчета
Вычисление отсчета
Вычисление отсчета
Вычисление отсчета
Свертке соответствует умножение Z-преобразований
Этому z-преобразованию соответствует .
Обратное Z-преобразование.
Задача восстановления оригинала по известному изображению решается при помощи обратного Z-преобразования:
. (6)
Непосредственно решить такой интеграл довольно сложно, а в большинстве случаев невозможно. Существуют более простые способы нахождения обратного Z-преобразования:
Рассмотрим вычисление обратного Z-преобразования с помощью таблицы соответствия.
Когда все очень просто, этой
сумме соответствует массив
.
Если же изображение
представлено
в виде дроби, то необходимо привести его к такому виду, оригинал которого определяется
по таблице соответствия. Один из путей – последовательное деление полинома числителя
на знаменатель с поочередным выделением
слагаемых вида
.
Пример.
Таблица соответствий
Последовательность |
z-изображение |
|
1. |
|
1 |
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
Задачи для самостоятельной работы.
Задача 1
Задана последовательность .
Записать Х(z).
(Ответ: )
Задача 2
,
Найти F(z)=A*X(z)+B*Y(z), A=2 ,B=3
(Ответ: )
Задача 3
, y(n)= x(n-2 ). Определить
Y(z). (Ответ:
)
Задача 4
,
Определить
, Y(z)=X(z)*H(z).
(Ответ: ,
)
Задача 5
Выполнить обратное z-преобразовании функции
(Ответ: )