Математические основы цифровой обработки сигнала |
Практика 3 |
III. Дискретное преобразование Фурье. Разностные уравнения цепи.
Дискретное преобразование Фурье.
Рассмотрим алгоритм вычисления непрерывного спектра конечной последовательности в дискретных точках. Учитывая свойство периодичности спектра , целесообразно его вычислять в дискретных точках на периоде
. Остается выяснить вопрос о количестве точек, ведь их недостаточность может привести к пропуску важной информации, а избыточность – к неоправданному возрастанию объема вычислений.
Ответ на вопрос дает теорема Котельникова.
Теорема Котельникова в частотной области: непрерывный спектр конечного сигнала полностью определяется последовательностью своих отсчетов в частотной области, взятых с интервалом
(в данном случае на периоде
), где
(1).
ДПФ (2)
ОДПФ (3)
Свойства ДПФ, позволяющие легко вычислять спектр дискретного сигнала:
1)Число отсчетов на интервале и число коэффициентов ДПФ на интервале
одно и то же и равно
.
2) Линейность. Сумма сигналов (одинаковой длины и с одинаковым периодом) соответствует сумме их коэффициентов ДПФ.
3)Коэффициент равен сумме отсчетов
за период
.
4)Если N-четное число, то коэффициенты ДПФ с номерами
- сумма знакопеременных отсчетов
.
5)Если - вещественные числа, то коэффициенты ДПФ, номера которых расположены симметрично относительно
образуют комплексно-сопряженные пары. Т.е. достаточно вычислить отсчеты с номерами
, а вторая половина записывается как комплексно-сопряженные числа.
6)Для получения модуля спектральной плотности на частоте, соответствующей какой-то из дискретных частот, нужно соответствующие коэффициенты ДПФ умножить на Т- период дискретизации.
Задача №1.
Найти коэффициенты ДПФ сигнала
Решение:
По формулам ДПФ:
Применить прямое ДПФ к сигналу и ОДПФ к полученным коэффициентам ДПФ.
Решение:
Коэффициент можно и не вычислять, т.к. его номер 3, он симметричен коэффициенту с номером 1 относительно
. Коэффициент
является комплексно-сопряженным числом для коэффициента
Рассчитаем отсчеты по найденным коэффициентам ДПФ с помощью формулы ОДПФ.
Результат совпадает с заданным .
Задача №3.
Найти коэффициенты ДПФ .
Решение:
знакопеременная сумма отсчётов.
можно в соответствии со свойствами ДПФ записать:
- мнимая часть числа равна нулю.
Все коэффициенты ДПФ оказались вещественными числами. В этом случае к ОДПФ можно применить все свойства ДПФ, не забыв только разделить результат на .
Разностные уравнения цепи.
Если известны параметры линейной дискретной системы, то взаимосвязь между входным воздействием и реакцией
описывается разностным уравнением.
, (4)
где коэффициенты уравнения (вещественные константы),
,
- воздействие и реакция (вещественные или комплексные сигналы),
значения задержек для воздействия и реакции,
число прямых связей,
число обратных связей
воздействие и реакция, задержанные на
и
периодов дискретизации соответственно.
Для нормированного времени () разностное уравнение принимает вид:
. (5)
Разностное уравнение имеет прямую аналогию с линейным дифференциальным уравнением, описывающим соотношение вход-выход аналоговой линейной системы:
, (6)
где коэффициенты уравнения (вещественные константы), определяющие структуру аналоговой линейной системы.
Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов разностного уравнения, описывающего ее соотношение вход-выход, не равен нулю.
Порядком рекурсивной линейной дискретной цепи называют величину (7)
Структурная схема линейной дискретной цепи отображает алгоритм вычисления реакции, т.е. разностное уравнение.
Элементная база линейной дискретной цепи:
Масштабный умножитель
Многовходовой сумматор
Блок памяти с задержкой на один такт Т (период дискретизации)
Сигнал на выходе дискретной цепи формируется как сумма нескольких отсчетов входногои нескольких отсчетов выходного
сигналов.
В самом общем случае
(8)
Изобразим прямую структурную схему, соответствующую разностному уравнению:
Формулы и рисунок делятся на 2 части:
2) слагаемое, зависящее только от :
рекурсивная часть.
От перемены мест слагаемых результат, т.е. не изменится, поэтому и в формуле и в схеме сначала можно поставить рекурсивную часть, а затем - нерекурсивную. Объединив блоки памяти с задержкой, получаем каноническую схему, имеющую меньшее количество элементов Т и меньший коэффициент шума.
Каноническая схема дискретной цепи:
Структурная схема называется канонической, если число элементов задержки равно порядку цепи.
Записать разностное уравнение, если задана структурная схема дискретной цепи. Изобразить прямую структурную схему цепи.
Решение:
Разностное уравнение должно отображать все пути прохождения входного сигнала через цепь. Необходимо помнить, что при каскадном включении масштабных умножителей их коэффициенты перемножаются.
Прямая структурная схема линейной дискретной цепи первого порядка:
Задача №5.
Определить сигнал на выходе цепи, если
. Изобразить прямую структурную схему цепи.
Решение:
Данная схема содержит блок памяти с задержкой на два такта 2Т, что соответствует последовательному включению двух блоков памяти с задержкой на один такт Т:
Для того, чтобы определить сигнал на выходе цепи, необходимо записать разностное уравнение:
Отсчеты сигнала на выходе цепи:
Изобразим прямую структурную схему второго порядка. При заданном разностном уравнении в общей схеме не рисуют масштабный умножитель, коэффициент которого равен нулю. Умножитель, коэффициент которого равен единице, заменяют линией связи.
Задача №6.
Записать разностное уравнение, если задана структурная схема дискретной цепи. Изобразить каноническую структурную схему цепи.
Решение:
В данной схеме выходной сигнал - это сигнал с выхода сумматора
, задержанный на один такт.
Каноническая структурная схема линейной дискретной цепи второго порядка.
Задачи для самостоятельной работы.
Задача 1
Найти коэффициенты ДПФ сигнала
(Ответ: )
Задача 2
Выполнить ОДПФ для
(Ответ: )
Задача 3
Определить сигнал на выходе цепи, если
.
(Ответ:
)
Задача 4
Определить порядок линейной дискретной цепи.
(Ответ: система второго порядка)