Математические основы цифровой обработки сигнала

Практика 4

назад

 

IV. Импульсная характеристика, передаточная функция, частотные характеристики линейной дискретной цепи.

Импульсной характеристикой линейной дискретной цепи называется ее реакция на дискретную дельта-функцию при нулевых начальных условиях.

(1)

Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции при отсутствии воздействия.

  1. Как и разностное уравнение, импульсная характеристика описывает линейную дискретную цепь во временной области.
  2. Определить импульсную характеристику системы можно по разностному уравнению, решая его методом прямой подстановки.
  3. Импульсная характеристика нерекурсивной цепи имеет конечную длительность, значения отсчетов равны коэффициентам разностного уравнения.
  4. Нерекурсивные линейные дискретные цепи называют системами с Конечной Импульсной Характеристикой, или КИХ-системами.
  5. Импульсная характеристика рекурсивной цепи имеет бесконечную длительность.
  6. Рекурсивные линейные дискретные цепи называют системами с Бесконечной Импульсной Характеристикой, или БИХ-системами.

Задача №1

Определить импульсную характеристику цепи по разностному уравнению:

Решение:

Все последующие отсчеты также равны нулю, поэтому . Действительно, отсчеты импульсной характеристики совпали с коэффициентами разностного уравнения, следовательно, выражение для можно было записать, не прибегая к вычислениям.

 

Задача №2

Определить импульсную характеристику цепи по разностному уравнению:

Решение:

Передаточная функция - это отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.

Применим z-преобразования к разностному уравнению:

Получим

В передаточной функции можно выделить рекурсивную и нерекурсивную части:

При записи передаточных функций сложных цепей учитывает правила преобразования структурных схем:

Каскадное соединение

 

Параллельное соединение

Соединение с обратной связью

 

Частотная характеристика линейной дискретной цепи - фурье-изображение импульсной характеристики . Также выражение для можно получить из передаточной функции цепи, выполнив замену . Как и всякую комплексную функцию, можно представить через модуль и аргумент

,

где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

- фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Задача №3.

Составить передаточную функцию системы.

Решение:

- нерекурсивная цепь.

Задача №4.

Составить системную функцию. Записать разностное уравнение. Найти импульсную характеристику. Проверить устойчивость системы.

Решение:

- передаточная функция системы.

Перейдем от нее к разностному уравнению:

Этому уравнению соответствует разностное уравнение:

Импульсную характеристику можно получить, пользуясь разностным уравнением, или по передаточной функции путем деления полинома числителя на знаменатель

Для проверки устойчивости цепи полином знаменателя приравнивают к нулю и находят полюса функции . Для устойчивой цепи .

Избавимся от отрицательных степеней, умножив обе части уравнения на и после этого определим корни.

Условие выполняется, значит цепь устойчива.

Задача №5.

Составить передаточную функцию и рассчитать частотную характеристику цепи.

Решение:

При нахождении частотной характеристики:

  1. заменить .
  2. разложить .
  3. сгруппировать вещественные и мнимые части.

Расчет необходимо вести подробно, оформляя таблицу.

 

 

Задача №6.

Для схемы из задачи №3 определить сигнал на выходе цепи, если на вход ей подать

Решение:

Запишем z-преобразование последовательности :

Z-изображение сигнала на выходе , т.к. по определению

Другой путь:

Определяем импульсную характеристику , выполняя деление числителя на знаменатель.

Для достижения необходимой точности при вычислении выходного сигнала в импульсной характеристике надо учесть все отсчеты, значения которых превышают 5% от максимального значения .

Следовательно

Реакцию цепи вычислим с помощью линейной дискретной свертки ,


назад