СодержаниеИсследование линейной стационарной цепи.
Схема исследуемой цепи:
Рис.1. Схема исследуемой цепи.
Дано:
;
1. К цепи приложено напряжение
Определить все токи и напряжения в цепи, построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Преобразуем заданное напряжение:
Где рад/с - угловая частота.
Тогда, комплексное напряжение
Найдём эквивалентное комплексное сопротивление цепи:
Тогда, комплексный ток равен:
А
Тогда, так как токи и равны:
А;
Напряжения:
В
В
В
Таким образом, нашли все токи и напряжения цепи:
, ;
,
,
, ;
, .
Построим векторную диаграмму напряжений и токов в комплексной системе координат:
Рис.2. Векторная диаграмма напряжений.
Рис.3. Векторная диаграмма токов.
2. Считая, что воздействие – напряжение , а реакция – напряжение в режиме холостого хода ( отключено) Определить:
- операторную характеристику;
- комплексную частотную характеристику;
- переходную характеристику;
- импульсную характеристику.
Построить:
- амплитудно – частотную характеристику;
- фазочастотную характеристику;
- переходную характеристику;
- импульсную характеристику.
Определение операторной характеристики.
Получим операторную характеристику, найдя передаточную функцию цепи в операторной форме:
Рис.4. Схема исследуемой цепи в режиме холостого хода.
Запишем второе уравнение Кирхгофа для контура:
, учитывая, что и переходя к операторной форме, заменив , получим:
(1)
Тогда - операторная характеристика цепи.
Определение комплексной частотной характеристики.
Получим частотную характеристику, найдя комплексную частотную передаточную функцию цепи:
Так как цепь стационарна, то передаточная функция в изображениях по Лапласу формально совпадает с передаточной функцией в операторной форме путём замены на .
Тогда, передаточная функция в изображениях по Лапласу равна:
,
Произведя подстановку получим комплексную частотную передаточную функцию цепи:
.
Определение переходной характеристики.
Переходная характеристика – это переходный процесс изменения выходной величины при единичном ступенчатом воздействии на входе и нулевых начальных условиях.
Единичное ступенчатое воздействие:
Подставляя в (1) вместо , вместо получаем:
Решив это дифференциальное уравнение найдём переходную характеристику:
Используем классический метод решения дифференциальных уравнений. Общее решение находится как сумма частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:
.
Находим установившуюся составляющую:
,
.
Решаем однородное уравнение:
,
где ищется в виде , причём определяется как корень характеристического уравнения .
После подстановки получим:
Найдём постоянную интегрирования, учитывая нулевые начальные условия, т.е. ,
Получим: и - т.е. переходная характеристика является экспонентой, асимптотически стремящейся к установившемуся значению0.25.
2.4. Определение импульсной характеристики.
Импульсная характеристика – это переходный процесс изменения выходной величины при единичном импульсном входном воздействии и нулевых начальных условиях.
Единичное импульсное воздействие (единичная дельта - функция) определяется формулой:
и ограничивает единичную площадь:
Эту функцию можно рассматривать как производную от и соответственно импульсная характеристика будет равна первой производной от переходной характеристики:
.
Весовая характеристика асимптотически стремится к нулю.Введение2.6. Построение фазочастотной характеристики.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ)– это зависимость разности (сдвига) фаз выходного и входного колебаний от частоты и равна аргументу комплексной частотной передаточной функции:
Рис.6.Фазочастотная характеристика.
Некоторые значения ФЧХ:
2.7. Построение переходной характеристики.
Переходная характеристика:
Используя MathCad 12, получаем:
Рис.7. Переходная характеристика.
Некоторые значения переходной характеристики:
2.8. Построение импульсной характеристики.
Импульсная характеристика: .
Используя MathCad 12, получаем:
Рис.8. Импульсная характеристика.
Некоторые значения импульсной характеристики:Литературанет
|
