Содержание
Введение ………………………………………………………..……….…3
1. Кольцо многочлена от одной переменной……………..……………..4
2. Делители. Наибольший общий делитель……………………………..5
3. Корни многочлена ………………………………………………….….6
4. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры……………………………………………………………….…8
5. Многочлены над полем действительных и рациональных чисел….12
6. Уравнения третьей степени…………………………………………..13
7. Уравнения четвертой степени………………………………………...14
8. Границы действительных корней…………………………………….15
Заключение........…………………………………………………………..19
Список использованной литературы……………….……………………20
Введение
Данная курсовая работа посвящена вопросам так называемой алгебры многочленов, а именно изучению уравнения от одного известного произвольной степени и его корней. Учитывая существование формулы для решения квадратных уравнений, естественно было искать аналогичные формул для уравнений более высоких степеней. Исторически этот отдел алгебры так и развивался, причем формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени были найдены еще в XVI веке. После этого начались безуспешные поиски формул, которые выражали бы корни уравнений пятой и более высоких степеней через коэффициенты этих уравнений при помощи радикалов. Однако, в XIX веке было, наконец, доказано, что такие формулы не могут быть найдены и что для всех степеней, начиная с пятой, существуют даже конкретные примеры уравнений с целочисленными коэффициентами, корни которых не могут быть записаны при помощи радикалов.
Отсутствие формул для решения уравнений высоких степеней привело к разработке различных методов приближенного решения уравнений. В данной курсовой работе рассматриваются вопросы о количестве корней многочлена с действительными коэффициентами и нахождению границ, между которыми эти корни могут находиться.
В данной курсовой работе рассматривается также одно из доказательств основной теоремы алгебры, которая является одним из крупнейших достижений всей математики, и на которой основана вся теория многочленов с числовыми коэффициентами.
1. Кольцо многочлена от одной переменной
Многочленом (полиномом) от переменной над областью целостности называется выражение вида:
где произвольное целое неотрицательное число, элементы принадлежат .[2,130]
Элемент называется коэффициентом при , свободным членом.
Наибольшее целое неотрицательное число , такое, что называется степенью многочлена и обозначается
Два многочлена называются равными алгебраически, если у них равны коэффициенты при одинаковых степенях.
Рассмотрим два многочлена
Обозначим через - множество всех многочленов от переменной над областью целостности , т.е. .
Рассмотрим два многочлена
где, например, .
Суммой называется многочлен , коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов многочленов и , стоящих при одинаковых степенях неизвестного, т.е. , .
Произведением многочленов и называется многочлен
,
коэффициенты которого определяются следующим образом:
, ,
т.е. коэффициент есть результат перемножения таких коэффициентов многочленов и , сумма индексов которых равна , и сложения всех таких произведений.[3,43]
Следовательно, справедлива следующая теорема.
Теорема. Множество всех многочленов от переменной над областью целостности с операциями сложения и умножения является областью целостности.[1,466]
Следствием данной теоремы является теорема: Множество всех многочленов от переменной над областью целостности является расширением области целостности , содержащего переменную .
2. Делители. Наибольший общий делитель.
Пусть даны два ненулевые многочлена и от переменной над областью целостности .
Многочлен делится на многочлен , если существует многочлен , что выполняется равенство
,
при этом многочлен называется делителем многочлена .
Многочлен делится с остатком на многочлен , если существуют два многочлен и из , такие что
где или . (*) Теорема о делении с остатком в кольце .
Пусть и старший коэффициент многочлена обратим в . Следовательно, существует и причем единственная пара многочленов , из , удовлетворяющая условию (*).[2,136]
Причем, необходимо заметь, что обратное утверждение не верно.
Общим делителем многочленов называется многочлен из кольца , который делит каждый из многочленов.
Наибольшим общим делителем совокупности многочленов, среди которых хотя бы один ненулевой называется такой их общий делитель, который делится на любой общий делитель этих многочленов.
Критерий наибольшего общего делителя. Общий делитель многочленов является наибольшим общим делителем тогда и только тогда, когда он имеет наибольшую степень среди всех общих делителей многочленов.[3,54]
6. Корни многочлена
Если есть некоторый многочлен из , а некоторое число , то выражение называется значением многочлена при .[1,484]
Если , т.е. многочлен обращается в нуль при подстановке в него числа вместо неизвестного, то называется корнем многочлена (или уравнение ).
Критерий корня. Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на многочлен в .
Если - различные корни многочлена , то многочлен делится на многочлены , , …, . Следовательно, , где .
Корень многочлена называется кратным, если многочлен делится на многочлен , но не делится на многочлен .
Теорема. Пусть корни многочлена соответственно кратности .
Тогда , где и , .
Рассмотрим многочлен , считая каждый его корень столько раз какова его кратность. Тогда
1. если , то для любого числа выполняется равенство . Следовательно нулевой многочлен имеет столько корней сколько элементов в .
2. если .
Теорема. Количество корней многочлена не превосходит степени многочлена, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.[3,74]
Доказательство:
Если , то многочлен имеет вид , , .
Следовательно, для любого выполняется , т.е. не является корнем. Следовательно, многочлен имеет нуль корней. Тогда число корней равно степени многочлена.
Если , . Если многочлен не имеет корней в , то теорема выполняется. Пусть многочлен имеет корни соответственно кратности .
Тогда . Так как , то многочлен имеет степень. Пусть . Приняв свойства степени произведения получим , где - число корней.Введение. Многочлены над полем действительных и рациональных чисел
1. Мнимые корни многочлена положительной степени попарно сопряжены.
2. Мнимые сопряженные корни многочлена положительной степени имеют одинаковую кратность.
3. Любой многочлен нечетной степени имеет нечетное количество действительных корней, т.е. хотя бы один действительный корень.
4. Если несократимая дробь ( ) является рациональным корнем многочлена , то делитель свободного члена, а делитель старшего коэффициента. Обратное утверждение не верно.
5. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
6. Всякий рациональный корень нормированного многочлена ( ) с целыми коэффициентами является целым числом.
7. Если несократимая дробь ( ) является рациональным корнем многочлена следовательно, для любого целого числа несовпадающего с этой дробью делится на ( ).
8. Если несократимая рациональная дробь является корнем , то делится на и делится на .
9. Если не делится на или не делится на , то не является корнем многочлена .
10. Если целое число , является корнем многочлена , то делится на и делится на . Обратное утверждение не верно.
8. Уравнения третьей степени
Рассмотрим уравнение третьей степени
(1)
где комплексные числа.
Данное уравнение с помощью подстановки приведем к уравнению
(2)
Уравнение (2) имеет три комплексных корня (по основной теореме алгебры). Пусть любой из этих корней.
Рассмотрим уравнение
(3)
Пусть - комплексные корни уравнения (3), тогда по теореме Виета
(4)
Учитывая, что корень уравнения (2), получим:
.
Разделим на и учитывая систему (4) получим:
.
По обратной теореме Виета корни уравнения /
/
Таким образом, - формула Кардана для нахождения любого корня.
9. Уравнения четвертой степени
Рассмотрим уравнение четвертой степени:
, где действительные числа.
Тогда
Дополним левую часть полученного равенства до полного квадрата.
Водим вспомогательный параметр следующим образом;
;
.
Потребуем, чтобы в правой части полученного уравнения образовался полный квадрат, т.е чтобы дискриминант был равен нулю. Из этого условия находим . Затем уравнение распадается на два квадратных уравнения, корни которых будут являться корнями исходного уравнения.Литература1. Л.Я. Куликов Алгебра и теория чисел. М: «Высшая школа», 1979
2. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. М: «Наука», 1971
3. Л.Я. Окунев Высшая алгебра. М: «Просвещение», 1969
4. А.М. Радьков, Б.Д. Чеботаревский Алгебра и теория чисел. Мн: «Вышэйшая школа», 1992
|
|
