СодержаниеВведение. 3
1. Метрика Пуанкаре. 6
§1.1. Аксиомы Евклида. 6
§ 1.2. Возникновение геометрии Лобачевского. 10
§ 1.3. Неевклидовы геометрии. 12
§ 1.4. Интерпретация Пуанкаре. 15
§ 1.5. Выполнимость первых четырех групп аксиом Евклида и аксиомы Лобачевского. 18
2. Площадь фигур в неевклидовой геометрии. 25
§ 2.1. Понятие площади треугольника в геометрии Лобачевского. 25
§ 2.2. Зависимость углов неевклидова треугольника от сторон 41
§2.3 Формула Герона. 46
Заключение. 49
Список литературы. 51ВведениеОбычно под геометрией понимают раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения.
Геометрия в смысле набора правил для решения прикладных задач измерения длин и нахождения расположения различных фигур зародилась в Древнем Египте, примерно 1800-1700 годы до н.э. Значительно позднее, примерно 600 годы д.э., геометрические знания были привнесены в Древнюю Грецию, но именно здесь геометрия оформилась как научное логически строгое знание. Многих древнегреческих мыслителей мы знаем именно как выдающихся геометров, например, Фалес Милетский, Пифагор и другие.
Достижения древнегреческих мыслителей в области геометрии отражены в знаменитой книге Евклида "Начала" около 300 года до н.э. "Начала" состоят из 13 книг, семь из которых посвящены систематическому изложению геометрии. Евклид предложил систему аксиом (Евклид называет их постулатами) из которых было дедуктивным методом получены известные в то время теоремы. Изложение геометрической теории в "Началах" являет собой пример первой, известной нам, попытки дать строгое логическое обоснование теории на основе некоторого множества начальных утверждений. Книга Евклида являет собой замечательный образец систематического стройного изложения, поэтому нет ничего удивительного, что многие мыслители Древней Греции и даже Нового Времени строили свои работы по образцу "Начал".
В Средние века большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе "Начала" Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата и Бхаскара II, все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.
За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в "Началах" Евклида).
Французский математик Ж. Дезарг в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает свойства фигур, остающиеся неизменными при различных проекциях.
Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г. Монжем. Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.
В 1637 Р.Декарт, французский философ и математик, опубликовал свою "Геометрию" - первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики. Позднее возникла дифференциальная геометрия и целая серия неевклидовых геометрий.
Создание неевклидовых геометрий связывают в первую очередь с именами Н. И. Лобачевского, Я. Больяй и Б. Римана . В построении неевклидовой геометрии главную роль сыграли попытки доказательства, так называемого, пятого постулата Евклида. Неевклидовые геометрии имеют широкое прикладное применение: в физике, в частности в теории относительности, при вычислении определенных интегралов, в теории функций комплексного переменного и т.д.
Целью данной работы является анализ выполнимости аксиом Евклида и теории параллельности Лобачевского на метрике Пуанкаре, анализ формул для нахождения площади треугольника в геометрии Лобачевского.
В данной работе решаются следующие задачи:
" анализ аксиом (постулатов) Евклида;
" излагается краткая история создания геометрии Лобачевского;
" раскрывается смысл основных отличий геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии;
" строится интерпретация (метрика) Пуанкаре;
" рассматривается выполнимость первых четырех аксиом Евклида и аксиомы Лобачевского на метрике Пуанкаре.
" анализ понятия площади треугольника в геометрии Лобачевского;
" выявляется связь между углами неевклидового треугольника и длинами его сторон;
" анализ формулы Герона в геометрии Лобачевского.Литература1. Атанасян Л.С, Базылев В.Т.. Геометрия. Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов педагогических институтов М. Наука, 1986
2. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л. Гостехиздат, 1948
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. Наука, 1986
4. Ефимов Н.В. Высшая геометрия М. Наука, 1971г.
5. Каган В.Ф. Геометрия Лобачевского и её предыстория. М.-Л., 1949
6. Клейн Ф. неевклидова геометрия. М. Едиториал УРСС, 2004
7. Коксетер Г., Грейтнер С. Новые встречи с геометрией. М. Наука, 1978
8. Лобачевский Н.И. Избранные руды по геометрии. Под ред. Александрова П.С. М. Акад. Наук СССР, 1956
9. Пуанкаре А. Избранные труды М. Наука, 1974г.
10. Погорелов А.В. Лекции по основаниям геометрии М. Просвещение, 1978г
11. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М. Наука, 1976г.
12. Энциклопедия элементарной математики. М. Наука, 1966
13. http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00043/15500.htm
|
|
