Содержание1. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИЙ 2
2. БИФУРКАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ 3
3.ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ 4
4. РАВНОВЕСИЕ НАГРУЖЕННОГО ЖЕСТКОГО СТЕРЖНЯ 4
4.1. Несимметричная характеристика 4
4.2. Случай симметричной (линейной) характеристики 6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 8
ЛИТЕРАТУРА 8ВведениеЧрезвычайная общность развитых И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем ме-тодов была для их современников одной из самых впечатляющих черт мате-матического анализа. Возможность провести касательную в точке произ-вольной гладкой кривой и рассчитать площади фигур (объемы тел), ограни-ченные гладкими или кусочно-гладкими кривыми (поверхностями), казалась поразительной после весьма ограниченных успехов греческой математики в этой области.
При всей их общности методы математического анализа были ориен-тированы на исследование плавных процессов, простейшие из которых - стационарные равновесные состояния - соответствуют решениям задач на экстремум (максимум или минимум). Конечно, и в XVIII веке были известны многочисленные примеры резкого изменения поведения различных систем, когда одно стационарное состояние сменяется другим или исчезает стацио-нарный режим. Но никаких обобщающих математических идей, направлен-ных специально на изучение подобных трансформаций, тогда выдвинуто не было. Уже в середине XVIII века было найдено грандиозное обобщение за-дач на экстремум, составившее содержание вариационного исчисления, в котором роль точек играют кривые, а роль функций - определенные интегра-лы, зависящие от этих кривых. Но не менее грандиозное обобщение задач на экстремум, которое охватывает случаи резкого изменения стационарного поведения систем, описываемых нелинейными алгебраическими уравнения-ми, было сформулировано лишь через два века. Причина такого временного сдвига состоит, по-видимому, в том, что в течение длительного времени не были осознаны некоторые важные аспекты задач на минимум и максимум, которые при их осмыслении только и могли привести к обобщению, полу-чившему название "теория катастроф". В первой части статьи мы кратко об-судим эти аспекты.
Общий математический подход к исследованию резких, качественных изменений тогда отсутствовал, однако импульсы, идущие от механики и фи-зики, побуждали к рассмотрению конкретных задач такого рода и нахожде-нию путей их анализа. Решение каждой подобной задачи составляло само-стоятельную проблему аналогично тому, как обстояло дело в Древней Гре-ции с вычислением площадей (объемов) геометрических фигур (тел). За два века был накоплен огромный опыт исследования резких изменений в различ-ных физических системах, тесно связанный с формированием понятий ус-тойчивости и неустойчивости равновесия (более всего это относится к меха-нике). Мы попытаемся на конкретных примерах дать представление об этом опыте и инициированных им идеях. Наконец, учитывая, что многие трудно-сти, возникшие в задачах устойчивости, удавалось успешно преодолеть в рамках традиционных понятий и представлений об экстремальном поведе-нии, естественно поставить вопрос: Чем же была вызвана к жизни разработка общего подхода, характерного для теории катастроф? Не имея возможности в рамках этой статьи ввести специальные математические понятия, мы все же сформулировали ответ на этот вопрос во второй ее части.Литература1. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.
2. Постон Т., Стюарт Й. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980.
|
