СодержаниеВведение.---------------------------------------------------------------------------------------- 3
1. Некоторые сведения из аналитической теории.--------------------------------- 5
1.1 Голоморфные функции. Алгебраичекие функции.------------------------ 5
1.2 Классификация неалгебраических особых точек.------------------------- 9
1.3 Подвижные и неподвижные особые точки решений дифференциальных уравнений.----------------------------------------------- 10
2. Теорема Коши и теорема единственности-------------------------------------- 11
3. Условия алгеброидности особых точек решений, обе компоненты которых стремятся к бесконечности.-------------------------------------------- 20
Заключение.---------------------------------------------------------------------------------- 29
Литература.----------------------------------------------------------------------------------- 31ВведениеДипломная работа посвящена проблемам аналитической теории дифференциальных уравнений. Первые исследования в этой теории были проведены Коши. Для весьма широкого класса дифференциальных уравнений он доказал теоремы существования и единственности голоморфных решений, удовлетворяющих некоторым начальным условиям. Однако эти теоремы носят локальный характер, так как ничего неизвестно о поведении решения за пределами некоторой области, определяемой начальными значениями. Поэтому очень важна задача изучения решений во всей области их существования.
Одной из основных в аналитической теории дифференциальных уравнений является проблема нахождения тех уравнений и систем, решения которых не имеют подвижных трансцендентных и существенно особых точек.
В работе рассматривается система двух дифференциальных уравнений вида:
где - комплексные переменные, а и - многочлены относительно и , коэффициенты которых являются аналитическими функциями относительно z . Через и , и , и , и обозначены степени многочленов и по и соответственно, причем члены со старшей степенью многочленов одновременно по и не содержатся в и соответственно.
Ставится задача: указать условия, при выполнении которых указанная система имеет единственное решение с подвижными полярными особыми точками или вовсе не имеет решений с подвижной особой точкой, при приближении к которой хотя бы по некоторому пути обе компоненты решения стремились бы к бесконечности. Тем самым, указать условия, при которых данная система не будет иметь решений
,
обладающего свойством при условии, что , для которого точка являлась бы подвижной трансцендентной особой точкой.Литература1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.(перевод с англ.). Под редакцией Эфроса А.М. - Харьков, ОНТИ, 1939.
2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2-е издание. - М. -Л., ГИТТЛ, 1950.
3. Гурса Э. курс математического анализа, т.2 - Теория аналитических функций. Дифференциальные уравнения (перевод с франц.). Под редакцией Младзеевского Б.К. - М. -Л.,ОНТИ, 1936.
4. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. 2-е изд., исправл. и доп. - М., Наука, т.1, 1967., т.2, 1968.
5. Климашевская И.Н., Кондратеня С.Г. О существовании и единственности решений с подвижными полярными особыми точками у систем двух дифференциальных уравнений. Доклады АН БССР, 1987, т.31, №4, с. 293-295.
|
