СодержаниеВведение............................3
Глава I.
Ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости...5
Степенные ряды. Действия над степенными рядами.........11
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена...................14
Дифференциальные уравнения................16
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.18
Уравнение Бесселя.....................25
Периодические решения дифференциальных уравнений......28
Глава II.
Решение расчётного задания.................31
Заключение..........................43
Литература...........................44ВведениеТермин "дифференциальное уравнение" принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды.
Сейчас широкое внедрение в науку вычислительных методов, связанное с появлением вычислительных средств большой мощности, требует переоценки значения различных разделов математики и, в частности, разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время выросло значение методов качественного исследования решений дифференциальных уравнений, а также методов приближённого нахождения решений.
Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях или квадратурах. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степенной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена).
Цель данной работы - изучение теоретического и практического материала по данной теме и применение его к решению расчетного задания.
Объектом исследования выступает процесс интегрирования дифференциальных уравнений методом степенных рядов
Предметом исследования являются формы, методы и средства интегрирования дифференциальных уравнений степенными рядами.
В соответствии с поставленной целью можно сформулировать основные задачи данной работы:
" анализ литературы по данной теме.
" рассмотреть основные понятия, связанные с рядами дифференциальными уравнениями.
" проанализировать метод интегрирования дифференциальных с помощью степенных рядов.
" применить метод степенных рядов для решения расчетного задания.Литература1. А. Н. Тихонов, А. В. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, М., "Наука", 1985.
2. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., "Наука", 1969.
3. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа ч.I, М., "Наука", 1971; ч. II, М., "Наука". 1973.
4. Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу, М., "Наука", 1972.
5. А. П. Прудников. Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Интегралы и ряды,
М., "Наука", 1981.
6. Сборник задач по теории аналитических функций, под редакцией М.
А. Евграфова, изд. 2, М., "Наука", 1972.
7. Г. И. Лизоркин Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: "Наука", 1981.
8. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. I ,М. "Высшая школа" 1986.
9. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов , М., "Физматгиз", 1960.
10. Ф. Трикоми Дифференциальные уравнения. Перевод с английского
А. Д. Мышкиса. изд. иностранной литературы М., 1962.
11. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А., Дифференциальные уравнения в примерах и задачах, 2-е изд., перераб.-М.: Высш. шк., 1989.
12. А.И. Егоров Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
13. Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 4 изд. - М., Наука, 1974.
14. М. В. Федорюк Обыкновенные дифференциальные уравнения. - 2-е изд., перераб. и доц.--М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
15. А. В. Васильева, Г. Н. Медведев, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
|
|
