СодержаниеВведение.................................3
Глава I. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
1.1. Используемые обозначения....................5
1.2. Определения и теоремы...........................6
1.3. Группы, заданные определяющими множествами
соотношений...............................................................................9
Глава II. ПОДГРУППОВОЕ СТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ГРУПП
2.1. Конечные p-группы.......................12
2.2. Конечные абелевы группы.................14
2.3. Группы порядка , , , ...............25
Глава III. АНАЛИЗ СТРОЕНИЯ SL(2;7)
3.1. Теоремы Силова......................30
3.2. Дробно-линейные группы..................35
3.3. Случай, когда n=2 и q = p - простое число............37
3.4. Историческая справка...................41
Заключение.............................43
Приложения............................45
ЛИТЕРАТУРА..........................55ВведениеЛежащие в фундаменте современной математики понятие группы является весьма разносторонним орудием самой математики - оно используется как важнейшая составная часть ряда сложных алгебраических систем, как чуткий отражатель свойств различных объектов топологии, как испытательный полигон теории алгоритмов и многими иными путями.
Вместе с тем группы - это мощный инструмент познания одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира - симметрии.
Перечислим теперь некоторые важные классы групп. Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых групп, к которым относятся многие классические группы матриц над конечными полями, несколько серий групп автоморфизмов алгебр Ли, а также отдельные "спорадические" группы.
На другом полюсе находятся конечные разрешимые группы, в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и пр.), во многом определяющих строение самой группы.
Часто конечные группы возникают в форме групп подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных групп.
Для задания конкретных групп, так же, как и для задания конкретных функций, используются следующие способы: словесный, табличный, аналитический и графический. Однако эти методы не позволяют прозрачно увидеть строение группы, число и взаимное расположение подгрупп.
Значительное число теорем теории групп являются высказываниями о расположении подгрупп, инвариантных подгрупп, вследствие чего эти теоремы могут быть переформулированы как теоремы о структурах подгрупп или идеалов. Таким путем в теорию структур были перенесены некоторые важные теоремы из теории групп.
Подгруппы в произвольной группе G можно рассматривать как элементы структуры S(G) относительно операций объединения и пересечения. Для конечной структуры можно построить её диаграмму, изображая её элементы определенно расположенными точками плоскости.
Целью данной выпускной квалификационной работы является изучение структуры подгрупп специальной линейной группы SL(2;7).
Задачи: изучить учебную и монографическую литературу по заданной теме; составить программу на языке программирования TURBO PASCAL 7.0, позволяющую выводить на экран все элементы группы SL(2;7), умножать два произвольных элемента группы, а также определять, является ли заданное подмножество подгруппой группы.Литература1. Беран Л. Упорядоченные множества: Пер. с чешск. - М.: Наука, 1981, 64 с. - (Популярные лекции по математике).
2. Бурбаки Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература, 1963.
3. Даон-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки истории математики. М.: Мир, 1966.
4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1977.
5. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. М.: Наука, 1989.
6. Коксетер Г., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. - М.: Наука, 1980.
7. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
8. Ляпин Е. С., А. Я. Айзенштат, М. М. Лесохин. Упражнения по теории групп. - М.: Наука, 1997.
9. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.
10. Супруненко Д. А. Группы матриц. - М.: Наука, 1972.
11. Итоги науки и техники. Т 11 / под ред. Р. В. Гамкридзе. - М., 1986.
12. Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - 3-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия. 1998.
13. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную математику. - М.: Мир, 1979.
14. Huppert B. Engliche Gruppen Bertin, Springer, 1979.
15. Чандрер Б., Мангус В. Развитие комбинаторной теории групп. - М.: Наука, 1985.
|
|
