СодержаниеВведение.............................4-5
1.Понятие дифференциального уравнения, его решения. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения............................6-10
2.Периодические решения систем дифференциальных уравнений....11-16
3.Отображение за период. Основной принцип в теории периодических решений..........................17-26
4.Отражающая функция и отображение за период.........27-33
Заключение.........................34
Литература..........................35ВведениеЧаще всего системы дифференциальных уравнений вида
, , xT = (x1,x2…….. xn) Rn (1)
не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях или квадратурах. Появляется необходимость исследования периодических решений системы (1) непосредственно по самой системе [2,4].
При изучении вопросов о периодических решениях систем вида (1) важнейшую роль играет отображение за период (отображение Пуанкаре) для системы (1). Если ? (t,?,x) есть единственное решение соответствующей задачи Коши для системы (1), то отображение Пуанкаре T для 2? - периодической по t системы (1) определяется формулой T(x) = ? (?+2?;?,x).
Представляется отображение Пуанкаре системы (1) можно найти только в том случае, когда мы сможем найти общее решение системы (1). Это мнение ошибочное. Оказывается что даже неинтегрируемая в квадратурах система (1) может иметь отображение за период, задаваемое с помощью элементарных функций. Причем можно указать такие случаи, когда отображение T(x) неинтегрируемой в квадратурах системы (1) может быть найдено эффективно.
Для отыскивания отображения Пуанкаре используются различные вспомогательные функции Ф(t,x), которые не совпадая с общим решением ? (t,?,x) системы, везде совпадают с ним на гиперплоскостях t = ? и t = ?+2?. Если такая функция Ф(t,x) будет найдена, то тем самым будет найдено и отображение Пуанкаре. В качестве такой функции используется так называемая отражающая функция F(t,x) = ?(-t;t,x).
Если отражающая функция F(t,x) 2?-периодической системы (1) известна, то формула F(-?,?) = ?(?; -?,x) будет задавать отображение Пуанкаре этой системы. На этом основано применение отображающей функции при изучении решений дифференциальных систем.
Отражающая функция, как и отображение Пуанкаре, системы (1) может задаваться с помощью элементарных функций даже тогда, когда система (1) не интегрируется в квадратурах. Различные системы могут иметь одинаковые отображающие функции.
Каждая система из множества систем с одной и той же отражающей функцией F(t,x) может быть записана в виде
= - (-Fx+E )-1 F1 + Fx-1 R (t, x ) - R (- t, F) (2)
где R (t, x ) - есть некоторая вектор-функция со значениями в Rn . Все 2?- периодические системы вида X (t+ 2?, x (t)) = X (t, x(t)) имеют одно и то же отображение Пуанкаре F(-?,x). Найдя с помощью формулы (2) отражающую функцию, можно построить отображение Пуанкаре F(-?,x).Литература1.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.-2изд., дод. и перераб.- М.: Просвещение,1963,- 262 с.
2.Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных систем.-Гомель,1985,-64 с.
3.Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем.-Гомель,2004,-196 с.
4.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление .- М.: Просвещение,1968,-320 с.
5.Письменный Д. Т.Конспект лекций по высшей математике .-2 часть.-2-е изд., испр.- М.: Айрис-пресс,2002.-256 с.
|
|
