СодержаниеВведение..........................4
1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.........5
1.1. Вопросы и задания для самопроверки...............5
1. Что называется скалярным произведением двух векторов?
2. Чему равно скалярное произведение двух векторов: скаляру или век-тору?
3. Как вычислить скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами?
4. Какой формулой нужно воспользоваться, чтобы найти угол между двумя векторами, заданными своими координатами?
5. Дайте определение векторного произведения.
6. Как вычислить площадь треугольника, в котором известны коорди-наты вершин?
7. Что представляет собой смешанное произведение трех векторов с геометрической точки зрения?
8. Каким образом выяснить, принадлежит ли точка данной прямой?
9. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости?
10. Приведите канонические уравнения эллипса, гиперболы и парабо-лы.
11. Укажите геометрический смысл величин и в общем уравне-нии плоскости.
12. Что представляет собой направляющий вектор прямой линии в про-странстве?
1.2.
1.3. Задачи для практических занятий................5
В задачах 1.1 - 1.6 вычислить определители второго и третьего поряд-ков:
В задачах 1.7 - 1.9, используя свойства определителей третьего поряд-ка, доказать следующие тождества:
1.10. Заданы вектора и . Вычислить:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; e) .
1.11. Определить значение , при котором вектора и будут перпендикулярны, если , .
1.12. Найти вектор , если известны две его координаты , и длина .
1.13. Найти угол, составленный единичными векторами и , если известно, что вектора и перпендикулярны.
1.14. Заданы векторы и . Найти и .
1.15. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .
1.16. Найти вектор , коллинеарный вектору и такой, что удовлетворяет условию .
1.17. Заданы вектора и . Найти координаты век-торов: а) ; б) .
1.18. Вычислить площадь треугольника с вершинами , , .
1.19. В треугольнике с вершинами , , Найти высоту .
1.20. Определить значения и , при которых вектор является коллинеарным вектору , если , .
1.21. Заданы вектора , , . Вычислить .
1.22. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах:
а) , ;
б) , .
1.23. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , , если за основу взят параллело-грамм, построенный на векторах и .
1.24. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках , , , .
1.25. В тетраэдре с вершинами в точках , , , вычислить высоту .
1.26. Проверить, компланарные ли заданные векторы: , .
1.27. Записать уравнение прямой, привести его к общему виду, к урав-нению в отрезках и построить прямую, если:
а) прямая L задана точкой и нормальным вектором ;
б) прямая L задана точкой и направляющим вектором ;
в) прямая L задана двумя своими точками: и .
1.28. Задана прямая и точка . Необходимо:
а) вычислить расстояние от точки М до прямой L;
б) записать уравнение прямой , проходящей через точку М перпен-дикулярно заданной прямой L;
в) написать уравнение прямой , проходящей через точку М парал-лельно заданной прямой L.
1.29. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и то-чку пересечения прямых , .
1.30. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отрезающей на координатных осях отрезки равной длины.
1.31. Задан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение сторон треугольника.
1.32. Заданы стороны треугольника: , , . Найти уравнение высоты этого тре-угольника, проведенной из вершины В.
1.33. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам , .
1.34. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору .
1.35. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точ-ки , , .
1.36. Найти расстояние между двумя параллельными плос-костями: , .
1.37. Вычислить объем пирамиды, которая ограничена плоскостью и координатными плоскостями.
1.38. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и отрезающей от осей координат положительные и равные от-резки.
1.39. Прямая L задана общим уравнением
Написать для этой прямой канонические уравнения.
1.40. Записать уравнение прямой, проходящей через точки и .
1.41. Задана плоскость и прямая . Найти точку пересечения прямой и плоскости.
1.42. Найти расстояние между параллельными прямыми:
, .
1.43. Найти расстояние от точки до заданной прямой
1.44. Установить тип кривой второго порядка, привести заданное урав-нение к каноническому виду, сделать рисунок:
а) ; б) ;
в) .
1.45. Задан эллипс . Найти: а) его полуоси; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
1.46. Определить точки эллипса , расстояние которых до ле-вого фокуса равно 2,5.
1.47. Эксцентриситет гиперболы , центр ее лежит в начале коор-динат, одна из директрис дана уравнением . Вычислить расстояние от точки гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
1.48. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса .
1.49. Установить, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу, найти его полуоси и вершины.
1.50. Составить уравнение поверхности, образованной вращением ги-перболы вокруг оси .
1.51. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:
1) сфера имеет центр и радиус ;
2) сфера проходит через начало координат и имеет центр ;
3) сфера проходит через точку и имеет центр ;
4) точки и являются концами одного из диа-метров сферы;
5) центром сферы является начало координат и плоскость является касательной к сфере;
6) сфера имеет центр и плоскость яв-ляется касательной к сфере.
1.52. Установить, как расположена точка относительно ка-ждой из следующих сфер – внутри, вне или на поверхности:
1) ;
2) .
1.53. Провести касательные плоскости к эллипсоиду параллельно плоскости ; вычислить расстояние между найденными плоскостями.
1.4.
1.5. Индивидуальное задание 1...................9
Задача 1. Заданы вектора , , . Оп-ределить:
1) длину вектора : ;
2) скалярное произведение ;
3) косинус угла между векторами и ;
4) векторное произведение ;
5) смешанное произведение векторов , , ;
6) коллинеарны ли вектора и ;
7) компланарны ли вектора , , .
Задача 2. Заданы прямые и и точка М. Найти:
1) угловой коэффициент прямой и отрезок, который отсекает эта прямая на оси ординат;
2) уравнение прямых и в отрезках;
3) точку N пересечения прямых и ;
4) уравнение прямой, проходящей через точку М:
а) параллельно прямой ;
б) перпендикулярно прямой ;
5) расстояние от точки М до прямой : .
Все результаты проиллюстрировать графически.
Задача 3. Заданы уравнения плоскости , прямой и точка M.
Найти:
1) уравнение плоскости , проходящей через точку M параллельно плоскости ;
2) уравнение плоскости , проходящей через точку M перпендикуляр-но прямой ;
3) уравнение прямой , проходящей через точку M перпендикулярно плоскости ;
4) уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно пря-мой ;
5) точку N пересечения прямой и плоскости ;
6) расстояние от точки М до плоскости ;
7) расстояние от точки М до прямой .
Задача 4. Найти область решений системы линейных неравенств.
Задача 5. Записать разложение вектора по базису .
Задача 6. Установить тип кривой второго порядка, привести заданное уравнение к каноническому виду.
2. Дифференциальная геометрия и топология..........17
2.1. Вопросы и задания для самопроверки.............17
2.2.
2.3. Задачи для практических занятий...............17
2.4. Индивидуальное задание 2.................20
Приложение.........................27
Тестовое задание № 1.....................27
Тестовое задание № 2.....................29ВведениеНастоящий сборник рассчитан на студентов вузов гуманитарного направления. В нем содержатся геометрические задачи, не привязанные к конкретным областям физики, механики и другим техническим прикладным наукам, но согласованные с учебной программой дисциплины «Геометрия и топология» специальностей информационно-экономического характера. При составлении сборника имелись в виду также заочники и лица, изучающие математику самостоятельно, вследствие чего в начале каждой главы дан перечень вопросов, ответы на которые студент может подготовить самостоятельно с целью лучшего освоения материалов данного курса и правильного решения задач и примеров сборника. В сборнике также приведены условия типовых задач, составляющие основу индивидуальных заданий №1 и 2 курса «Геометрия и топология», читаемого студентам первого года обучения. В конце сборника даны примерные тестовые задания, которые могут быть использованы преподавателями на зачетных (итоговых) занятиях.Литература
|
|
