СодержаниеВведение. 3
Глава I. Справочные материалы. 5
1.1. Используемые обозначения 5
1.2. Определения и теоремы. 6
Глава II. Группы подстановок. 9
2.1 Перестановки (подстановки). 9
2.2 Операции на подстановках. 12
2.3. Разложение подстановок, циклы, транспозиции. 15
2.4. Четность и знак подстановки. 23
2.6. Теорема Кэли. 30
2.7. История развития теории групп подстановок. 33
Глава III. Знакопеременные группы и их подгруппы. 36
3.1. Подгруппы групп A3. 36
3.2. Подгруппы группы А4. 37
3.3. Подгруппы группы A5. 38
Заключение. 45
Приложения. 49
Таблицы числа подгрупп групп перестановок. 49
Компьютерная программа, используемая в данной работе. 50
Список литературы. 56ВведениеРешая задачи абстрактной теории групп, для подтверждения или опро-вержения каких-либо предположений нередко приходится пользоваться кон-кретными группами.
Важным разделом теории групп является теория конечных групп. Выде-ление этого класса групп отдельным объектом рассмотрения объясняется как тем, что конечные группы часто встречаются при конкретных математических исследованиях, так и тем, что свойство конечности влечёт за собой ряд важных дополнительных свойств, которыми произвольные группы могут и не обладать.
Среди конечных групп особое место занимают группы подста-новок. Именно на базе их исследования и развилась в дальнейшем теория конечных групп.
Данная работа посвящена практическому применению абстрактной теории групп для нахождения структуры подгрупп знакопеременных групп (n=3,4,5). Эта задача довольно легко выполнима при и , но уже при становится затруднительной в связи с большим числом элементов груп-пы (60) и ещё большим числом подгрупп. Применение элементов абстрактной теории групп значительно упростило работу, но, несмотря на это, нахождение структуры подгрупп было связано с практическими вычислениями, большая часть из которых была произведена при помощи ЭВМ.
Целью работы является построение диаграмм структур знакопеременных групп В связи с поставленной целью предстоит решить следующие задачи: изучить литературу по теории групп и подстановок; составить программу позволяющую определить, является ли заданное множество подстановок под-группой или нет.
Полученная в работе структура подгрупп знакопеременных групп мо-жет быть использована в дальнейшем для анализа структуры произвольных ко-нечных групп небольших порядков. По теореме Кэли любая конечная группа представима подстановками, а значит, ряд групп представим четными подста-новками. Таким образом, задача нахождения структуры подгрупп для таких групп, сводится к рассмотрению уже известной структуры подгрупп знако-переменных групп.
Данные, полученные в работе, позволяют решать и обратную задачу: построение группы с уже заданными свойствами операции, на основе изученных свойств операции умножения перестановок.Литература1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.:2001.-272 с.
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.:2001.-272 с.
3. Петрова В. Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов: В 2 ч.-М.: Часть I.-1999.-312 с.
4. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979.-560 с.
5. Мантуров О.В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики. - М.: Высшая школа, 1986. -480 с.
6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука Гл. ред. физмат. Лит., 1965. -432 с.
7. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физмат. Лит., 1980. - 336 с.
8. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.- М.: Наука. Гл. ред. физмат. Лит., 1975.- 400 с.
9. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре.- М.: Наука. Гл. ред. физмат. Лит., 1984.-416 с.
10. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: Учеб-ное пособие.- Гомель: УО "ГГУ им. Ф. Скорины", 2003.-320 с.
11. Каргаполов М. И. , Мензляков Ю. И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982. - 288 с.
12. Холл Ф. Теория групп. - ИЛ, 1962. - 468 с.
13. Курош А. Г. Теория групп, 4-е изд. - М.: изд. "Лань"1967. -648 с.
14. Александров П. С. Введение в теорию групп, 2-е изд. - М.:2004. -128 с.
15. Шнеперман Л. Б.Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях. - М.: Часть II. Высшая школа, 1987. -256 с.
|
