СодержаниеВведение.................................2
§1. Линейные преобразования ........................4
§2. Индексные обозначения.......................5
§3. Общее определение тензоров....................7 §4. Скалярное произведение и метрический тензор ............8
§5. Действия с тензорами.............................10
§6. Поднятие и опускание индексов ....................13
§7. Тензоры в криволинейных координатах....................13
§8. Примеры вычислений..........................16
Заключение................................24
Литература..............................25ВведениеВозникновение тензорного исчисления было подготовлено в 19 веке развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому тензорное исчисление иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.
Тензор (от лат. tensus - напряжённый, натянутый), математический термин, появившийся в середине 19 века и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин "тензор" получил в современном тензорном исчислении, где это название присваивается особого рода величинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теории упругости, термин "тензор" широко применяется как синоним симметрического аффинора, то есть линейного оператора F, преобразующего вектор х в вектор Fх, и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уFх не меняется при перестановке векторов х и у. Здесь термин был первоначально связан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации (откуда и название "тензор"), а затем перенесён в другие области механики. Так появились тензор деформации, тензор напряжения, тензор инерции и др.Литература1. Шарипов Р.А.. Быстрое введение в тензорный анализ. - Уфа: БГУ, 2004.-50с.
2. Мак-Коннел А.Дж.. Введение в тензорный анализ с приложениями. - Москва: ФМ, 1963.- 411с.
3. Зубов Л.М., Карякин М.И.. Элементы тензорного исчисления. - Ростов: РГУ, 2003.- 108с.
4. Рашевский П.К.. Риманова геометрия и тензорный анализ.- Москва: Наука, 1967.-664с.
5. Акивис М.А., Гольдберг В.В.. Тензорное исчисление.- Москва: Наука, 1969.-352с.
6. Кочин Н.Е.. Векторное исчисление и начала тензорного исчисление.- Москва: Наука, 1965.-424с.
7. Борисенко А.И., Тарапов И.Е.. Векторный анализ и начала тензорного исчисление.- Москва: Высшая школа, 1966.-252с.
|
