КОНРОЛЬНАЯ
РАБОТА 1 (Вариант 1)
(спец.
“Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма
обучения)
Элементы
теории вероятностей
Задача 1. Выразить событие С через события Аi
из условия задачи,
используя операции сложения, умножения и отрицания. При этом
слагаемые в выражении должны быть попарно несовместны.
Игральная кость бросается четыре раза. Аi – при i-м
бросании выпала цифра 6. С – цифра 6 при всех бросаниях выпала не менее трех
раз.
Задача 2. На пяти
карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Наудачу берут две карточки. Найти
вероятность того, что большая из извлеченных цифр равна 4.
Задача 3. Три стрелка выстрелили по мишени. Вероятность
попадания для них при одном выстреле 0,5, 0,7, и 0,9 соответственно. Найти
вероятность того, что мишень поражена не менее двух раз.
Задача 4. В семи урнах содержится по 2 белых и 2 черных шара, а
в трех урнах по 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность того, что из урны,
взятой наудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шар извлечен
из урны с 7 белыми и 3 черными шарами, если он оказался белым.
Задача 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и
дисперсию
случайной величины X. Построить график функции распределения и
найти вероятность события Х≤K.
Вероятность попадания в цель из орудия при каждом выстреле равна 0,7. Стрельба
ведется до первого попадания, но не свыше 5 выстрелов. Х – число произведенных
выстрелов. К = 3.
Задача 6. В случаях а,
б и в рассматривается серия из n
независимых испытаний с двумя исходами в каждом – “успех” или “неуспех”.
Вероятность “успеха” равна p, “неуспеха” – q = 1 - p
в каждом испытании. Х – число “успехов” в n
испытаниях. Требуется:
1)
для случая а (малого n)
построить ряд распределения, функцию
распределения Х, найти М(Х), D(X), P(X ≤ 2);
2)
для случая б (большого n
малого p) найти
вероятность P(X ≤ 2) приближенно с помощью распределения
Пуассона, оценив точность приближения;
3)
для случая в (большого n)
найти вероятность P(k1 ≤ X ≤ k2) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.
Случай
a
|
Случай
б
|
Случай
в
|
n = 5
|
n = 100
|
n = 100, k1 = 16
|
p = 0,2
|
p = 0,002
|
p = 0,2, k2 = 40
|
Задача 7. Случайное
отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с
математическим ожиданием а и квадратическим отклонением σ.
Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале
[а – ε, а + ε]. Требуется:
1)
записать формулу плотности
распределения и построить график плотности;
2)
составить таблицу значений функции
распределения отклонения для значений х = а +kσ, где k = 0, ± 1, ± 2, ± 3 и построить график;
3)
найти вероятность того, что при
выборе наудачу n деталей отклонение каждой из них попадет в интервал ;
4)
определить, какое наименьшее число
деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем P,
хотя бы одна деталь была годной.
Замечание. В пунктах 3, 4 пользоваться линейной интерполяцией
при отсутствии нужного значения в таблице.
а = 2
|
σ = 2
|
= -1,29
|
= 2,25
|
n =
3
|
Р = 0,95
|
ε =
2,564
|