КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Вариант 4)

(спец. “Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма обучения)

Элементы теории вероятностей

Задача 1. Выразить событие С через события А_i  из условия задачи,

                используя операции сложения, умножения и отрицания. При этом

                слагаемые в выражении должны быть попарно несовместными.

   У мальчика имеются деньги на шесть выстрелов в тире. Он купил три патрона и решил, что купит затем еще два, если ни разу не промахнется. Последний выстрел он решил себе позволить, если при этом не промахнется ни разу. А_i – мальчик попал при первом выстреле, С – мальчик потратил не все свои деньги.

Задача 2. Наудачу выбирается шестизначное число. Какова вероятность того, что  число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например,  123321)?

Задача 3. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наугад извлекают три шара. Найти вероятность, что они одного цвета.

Задача 4. Деталь проходит одну из трех операций обработки с вероятностью 0,25, 0,35 и 0,4 соответственно. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй – 0,04, а на третьей – 0,05. Найти вероятность получения брака после обработки. Какова вероятность, что деталь прошла третью операцию обработки, если получен брак?

Задача 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию

                случайной  величины X. Построить график функции распределения и

                найти вероятность события Х≤K.

   Прибор содержит три элемента, вероятности отказа которых за определенное время равны соответственно 0,15, 0,2 и 0,25. Х – число отказов элементов. К = 2.

Задача 6. В случаях а, б и в рассматривается серия  из n независимых испытаний с двумя исходами в каждом – “успех” или “неуспех”. Вероятность “успеха” равна p, “неуспеха” –  q = 1 - p  в каждом испытании. Х – число “успехов” в n испытаниях.

            Требуется:

1)      для случая а (малого n) построить ряд распределения, функцию распределения Х, найти М(Х), D(X), P(X ≤ 2);

2)      для случая б (большого n  малого p) найти вероятность P(X ≤ 2) приближенно с помощью распределения Пуассона, оценив точность приближения;

3)      для случая в (большого n) найти вероятность P(k₁ ≤  X ≤ k₂) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Задача 7.  Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием а и квадратическим отклонением σ. Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале [а – ε, а + ε]. Требуется:

1)      записать формулу плотности распределения и построить график плотности;

2)      составить таблицу значений функции распределения отклонения для значений х =  а +kσ, где k = 0, ± 1, ± 2, ± 3 и построить график;

3)      найти вероятность того, что при выборе наудачу n деталей отклонение каждой из них попадет в интервал ;

4)      определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем P, хотя бы одна деталь была годной.

Замечание. В пунктах 3, 4 пользоваться линейной интерполяцией при отсутствии нужного значения в таблице.