КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 (Вариант 6)

(спец. “Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма обучения)

Элементы теории вероятностей

Задача 1. Выразить событие С через события А_i  и В_j  из условия задачи,

                используя операции сложения, умножения и отрицания. При этом

                слагаемые в выражении должны быть попарно несовместными.

   Для контроля качества из партии изделий отбирают три экземпляра. Они проходят внешний осмотр, и вся партия принимается, если дефектов нет. Если все 3 изделия имеют дефект, то партия признается негодной. В других случаях проводится дополнительная проверка изделий на работоспособность, а партия признается годной, если все изделия эту проверку выдержали. А_i – i-я деталь не имеет внешних дефектов.   Вj – j-я деталь выдержала дополнительную проверку. С – партия признана годной.

Задача 2. Из полного комплекта домино извлекается наудачу одна кость. Какова вероятность того, что  сумма очков на обеих половинках этой кости окажется равной 7?

Задача 3. Электрическая цепь составлена по схеме:

Найти вероятность, что цепь пропускает ток.

Задача 4. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй 5 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, после чего из второй урны извлекают один шар. Найти вероятность, что этот шар белый. Какова вероятность, что из первой урны во вторую был переложен черный шар, если извлеченный из второй урны шар оказался белым?

Задача 5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию

                случайной  величины X. Построить график функции распределения и

                найти вероятность события Х≤K.

   На пути автомашины 4 независимых друг от друга светофора, каждый из которых с вероятностью 0,4 запрещает движение. Х – число пройденных до первой остановки светофоров. К = 2.

Задача 6. В случаях а, б и в рассматривается серия  из n независимых испытаний с двумя исходами в каждом – “успех” или “неуспех”. Вероятность “успеха” равна p, “неуспеха” –  q = 1 - p  в каждом испытании. Х – число “успехов” в n испытаниях.

            Требуется:

1)      для случая а (малого n) построить ряд распределения, функцию распределения Х, найти М(Х), D(X), P(X ≤ 2);

2)      для случая б (большого n  малого p) найти вероятность P(X ≤ 2) приближенно с помощью распределения Пуассона, оценив точность приближения;

3)      для случая в (большого n) найти вероятность P(k₁ ≤  X ≤ k₂) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Задача 7.  Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием а и квадратическим отклонением σ. Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале [а – ε, а + ε]. Требуется:

1)      записать формулу плотности распределения и построить график плотности;

2)      составить таблицу значений функции распределения отклонения для значений х =  а +kσ, где k = 0, ± 1, ± 2, ± 3 и построить график;

3)      найти вероятность того, что при выборе наудачу n деталей отклонение каждой из них попадет в интервал ;

4)      определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью не меньшей, чем P, хотя бы одна деталь была годной.

Замечание. В пунктах 3, 4 пользоваться линейной интерполяцией при отсутствии нужного значения в таблице.