КОНРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 (Вариант 1)
(спец. “Финансы и кредит” (080105), ускоренная форма обучения)
ТЕМА: Системы случайных
величин. Элементы математической статистики.
Задача 1. Закон распределения системы двух дискретных
случайных величин (Х, У) задан таблицей:
Х
/ У
|
-4
|
-3
|
-2
|
1
|
0
|
0,05
|
0
|
0,1
|
0
|
1
|
0,2
|
0,05
|
0
|
0,1
|
2
|
0,1
|
0,05
|
0,05
|
0,05
|
3
|
0
|
0,1
|
0,05
|
0,1
|
Найти:
1)
законы распределения случайных
величин Х и У;
2)
условный закон распределения
случайной величины Х, при условии, что
У =1;
3) математические ожидания М(Х), М(У) и центр
рассеивания;
4) дисперсии D(X), D(Y);
5) корреляционный момент Сху и коэффициент
корреляции rxy.
Задача
2. Система двух непрерывных
случайных величин (Х,У) имеет равномерное распределение в области D = {(х,у)| х2 + у2 £1; 0£ у£; у³ -х }.
Найти:
1)
плотность распределения;
2)
вероятность Р[(Х,У)Ì G] попадания в область G={(х,у)| х2+у2 £ 1; у £ };
3)
плотности распределения f1(x)
и f2(x) случайных
величин Х и У и условные плотности j(х| у) и y (у| х);
4)
математические ожидания М(Х), М(У)
и центр рассеивания;
5)
дисперсии D(X), D(Y);
6)
корреляционный момент Сху
и коэффициент корреляции rxy.
Задача
3. В результате испытания
случайная величина Х приняла следующие 16 значений:
Х1
= 1
|
Х2
= 5
|
Х3
= 4
|
Х4
= 3
|
Х5
= 9
|
Х6
= 7
|
Х7
= 8
|
Х8
= 7
|
Х9
= 2
|
Х10=
9
|
Х11=
8
|
Х12=
5
|
Х13=
2
|
Х14=
6
|
Х15=
5
|
Х16=
9
|
Требуется:
1)
построить статистическое
распределение;
2)
изобразить полигон распределения;
3)
построить эмпирическую функцию
распределения;
4)
считая величину Х непрерывной,
составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (0; 10) на 5
участков, имеющих одинаковые длины и построить гистограмму относительных
частот.
Задача
4. Даны 15 выборочных значений Х1,
Х2, …Х15:
1,578
|
2,298
|
1,874
|
2,103
|
2,385
|
1,860
|
1,792
|
2,232
|
2,355
|
2,177
|
2,078
|
1,950
|
1,868
|
1,976
|
2,449
|
случайной
величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а
и s2.
Требуется:
1)
вычислить точечные оценки а*
и (s2)*
параметров а и s2,
принимая а*= , (s2)*=
(а*(Х))2; записать функцию плотности и найти Р(Х>2);
2)
построить доверительные интервалы
для параметров а и s с надежностью 0,99;
3)
используя c2 –
критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε =
0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов
распределения, разбив интервал (-1; +1) на 5 равных частей.
Задача 5.
По данным корреляционной таблицы:
Х/У
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
nx
|
4
|
2
|
-
|
-
|
-
|
-
|
2
|
9
|
3
|
7
|
-
|
-
|
-
|
10
|
14
|
-
|
3
|
2
|
1
|
-
|
6
|
19
|
-
|
-
|
50
|
10
|
4
|
64
|
24
|
-
|
-
|
2
|
6
|
7
|
15
|
29
|
-
|
-
|
-
|
-
|
3
|
3
|
ny
|
5
|
10
|
54
|
17
|
14
|
N =100
|
1)
найти условные средние и ;
2)
оценить тесноту линейной связи
между случайными величинами Х и У, а так же обоснованность связи между этими
величинами;
3)
составить уравнение линейной
регрессии У по Х и Х по У;
4)
сделать чертеж, нанеся на него
условные средние и прямые регрессии.