Содержание9. Решить систему уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.
<br>х1+х2-2х3=1
<br>5х1+3х2+х3=1
<br>-х1-2х2+х3=-3
<br>
<br>19. Даны векторы a,b,c и d. Показать, что векторы a,b,c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
<br>a=(1,5,-1),b=(1,3,-2)?c=(-2,1,1),d=(1,1,-3)
<br>
<br>29. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: а) угол между ребрами A1A2 и A1A3; б) площадь грани A1A2A3; в) уравнение плоскости A1A2A3; г) уравнение высоты, проходящей через A4; д) объем пирамиды.
<br>A1(1,-1,1), A2(2,4,0),A3(2,2,-1),A4(-1,0,2)
<br>
<br>39. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы – координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы – координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности - координаты центра и радиус. Сделать чертеж.
<br>(4x+5y)^2=40(10+xy)
<br>
<br>49.Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
<br>а) б) в) г)
<br>
<br>59. Найти точку разрыва данной функции. Сделать чертеж.
<br> -x-1,xВведение19. Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
<br> , , , .
<br>Решение:
<br>векторы образуют базис в 3-хмерном векторном пространстве если они линейно-независимые, т.е. тогда и только тогда, если . Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:
<br>
<br>которая имеет единственное решение - нулевое, тогда и только тогда если ее определитель отличен от нуля:
<br> , следовательно, и векторы образуют базис.
<br>Найдем теперь координаты вектора в базисе , т.е. , следовательно, имеем систему для нахождения искомых координат:
<br>
<br>решение которой получено в задаче 9: , т.е. .
<br>
<br>
<br>29. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: а) угол между ребрами и ; б) площадь грани ; в) уравнение плоскости ; г) уравнение высоты, проходящей через ; д) объем пирамиды.
<br> .
<br>Решение:
<br>а) угол между ребрами и как угол между векторами и :
<br> , , тогда
<br> , следовательно, искомый угол:
<br> ;
<br>б) площадь грани найдем как площадь треугольника образованного векторами и :
<br> ,
<br> , тогда
<br> ;
<br>в) запишем уравнение плоскости как плоскости проходящей через три точки :
<br>
<br> ,
<br> ,
<br> - искомое уравнение;
<br>г) уравнение высоты, проходящей через найдем, как уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно плоскости :
<br> ;
<br>д) объем пирамиды найдем с помощью смешанного произведения векторов:
<br> ,
<br> , тогда
<br> .
<br>
<br>
<br>39. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы – координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы – координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности - координаты центра и радиус. Сделать чертеж.
<br> .
<br>Решение:
<br>
<br>
<br> - эллипс, координаты вершин которого (-5,0), (5,0), (0,-4), (0,4), а координаты фокусов и , т.к. .
<br>Сделаем чертеж:Литературанет
|
|
