Содержание<br>ВВЕДЕНИЕ 3
<br>СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ТРАНСПОНИРОВАНИЕ 4
<br>СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВО ШВАРЦА 6
<br>ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ 8
<br>ПРОЕКЦИИ НА ПОДПРОСТРАНСТВА И АППРОКСИМАЦИИ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 9
<br>Упражнение 3.2.1. 10
<br>Упражнение 3.2.2. 11
<br>МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ О НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТАХ 12
<br>МАТРИЦЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 15
<br>ПОДГОНКА ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 17
<br>ЗАКЛЮЧЕНИЕ 21
<br>Список использованной литературы 22ВведениеВВЕДЕНИЕ
<br>
<br>Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов. Метод позволяет использовать аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе глобальных методов. Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших квадратов носит также название линейной регрессии.
<br>Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек.
<br>Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих погрешности.
<br>Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция может быть произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента. Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций. Кроме того, часто бывает возможно путем замены переменных свести задачу к линейной (провести линеаризацию).
<br>
<br>СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ТРАНСПОНИРОВАНИЕ
<br>Скалярное произведение двух векторов и y есть число . Будем допускать возможность, что скалярные произведения не равны нулю, т. е. что углы не яв¬ляются прямыми, и интересоваться соотношением между скаляр¬ным произведением и углом.
<br>Предположим, что задана точка в -мерном пространстве и мы хотим найти расстояние от этой точки до прямой, порожденной вектором , т. е. мы ищем на этой прямой точку , ближайшую к . Тогда прямая, соединяющая точки и , перпендикулярна к исходному вектору .
<br>
<br>Проекции в -мерном пространстве.
<br>Этот факт позволяет нам найти ближайшую точку и вычислить расстояние от нее до . Несмотря на то что исходные векторы и не были ортогональны, для решения задачи автоматически привлекается ортогональность.
<br>Ситуация будет аналогичной, если вместо прямой, определен¬ной вектором , задана плоскость или вообще любое подпро¬странство пространства . Задача вновь сводится к отысканию точки в этом подпространстве, которая является ближайшей к , и эта точка вновь оказывается проекцией точки на подпрост¬ранство . Если мы опустим перпендикуляр из точки на , то будет точкой пересечения этого перпендикуляра с подпро¬странством S. Геометрически это соответствует решению задачи о расстояниях между точками и подпространствами. Однако остаются и некоторые вопросы, а именно:
<br>1) Имеет ли эта задача практическое значение?
<br>2) Существует ли аналитическая формула для определения точки , если подпространство задается определенным базисом (или просто набором векторов, порождающих его)?
<br>3) Существует ли устойчивый (с вычислительной точки зре¬ния) способ вычисления точки при помощи этой формулы?
<br>Ответ на первые два вопроса, безусловно, является положи¬тельным. Наша задача, до сих пор описанная в геометрических терминах, в точности совпадает с задачей о решении переопреде¬ленной системы уравнений методом наименьших квадратов. Век¬тор представляет собой информацию, полученную в результате проведения серии экспериментов или опросов, и в ней содер¬жится слишком много ошибок, чтобы он мог попасть в данное подпространство . Другими словами, если мы попытаемся пред-ставить вектор как вектор из подпространства , то нам не удастся этого сделать, поскольку соответствующая система урав¬нений окажется несовместной и, значит, не имеет решения. А ме¬тод наименьших квадратов даст нам точку , наилучшую из возможных. Сомневаться в важности этого приложения не при¬ходится.
<br>Второй вопрос, об отыскании формулы для точки р, решается очень просто, когда подпространство представляет собой прямую. Будем проектировать один вектор на другой различными способами и соотносить это про¬ектирование с вопросом о скалярных произведениях и об углах. К счастью, формула для остается достаточно простой и при проектировании на подпространства большей размерности (при условии, что в них задан базис). Это наиболее важный случай; он соответствует задаче о наименьших квадратах с несколькими параметрами.
<br>Остается ответить на третий вопрос о том, может ли быть реализована устойчивая схема для метода наименьших квадра¬тов. Сделать это труднее по следующей причине: подпростран¬ство определяется набором векторов, и если эти векторы будут близки к линейной зависимости, то оказывается практически невозможным установить их линейную зависимость или незави¬симость. Другими словами, размерность подпространства (число линейно независимых векторов) является исключительно неустой¬чивой, что делает неустойчивыми как точку , так и псевдооб¬ратную матрицу. В более устойчивом случае «нормальные урав¬нения» дают простейший способ для вычи-сления .ЛитератураСписок использованной литературы
<br>1. Г. Стренг, «Линейная алгебра и её применения», М. «Мир» - 1980 г.
<br>2. О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Р.Н. Черемных Взвешенный метод наименьших квадратов Взвешенный метод наименьших квадратов Математические методы в экономике. – М.: Дис, 1997.
<br>3. Анна Эрлих Технический анализ товарных и финансовых рынков. – М.: ИНФРА, 1996.
<br>4. Я.Б. Шор Статистические методы анализа и контроля качества и надёжности. – М.: Советское радио, 1962.
<br>5. В.С. Пугачёв Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. – 394 с.
<br>6. Грабовецкий Б.Е. Экономическое прогнозирование и планирование: – К.: Центр учебной литературы, 2003. – 188 с.
<br>7. Ерина А.М., Кальян З.О. Теория статистики: Практикум. – К.: КНЕУ, 1997. – с. 187–190.
<br>8. Гусаров В.М. Теория статистики: Учебн. пособие для вузов. – М., 1998. – с. 143–155.
|
|
