СодержаниеОглавление
Оглавление 2
Введение 3
Глава 1 5
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
1.1. Постановка задачи решения уравнений 5
1.2. Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений 6
1.3. Уточнение корня уравнения методом половинного деления 10
1.4.Итерационные методы уточнения корней 13
1.4.1. Метод простой итерации 13
1.4.2. Скорость сходимости итерационного процесса 18
1.4.3. Методы Ньютона 19
1.5. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью инструментальных средств 22
Глава 2 23
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ 23
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 23
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений 23
2.2.Метод Гаусса 25
2.2.1. Решение систем уравнений. 25
2.2.2. Вычисление определителей и обращение матриц………………….26
2.3. Метод прогонки 28
2.4. Метод простой итерации 30
2.5. Метод Зейделя 33
Заключение 34
Список литературы 35ВведениеВведение
Решение уравнений — одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение уравнений является необходимым элементом решения задачи.
Существует множество классов уравнений — алгебраические и
трансцендентные, дифференциальные, интегральные, функциональные, опе-раторные и т.д. Конечно, предпочтительными являются аналитические мето-ды решения, позволяющие получить его в виде формулы. Примеры уравне-ний, позволяющих получать аналитические решения, хорошо известны из школьной математики. Из алгебраических это линейные и квадратные урав-нения, из трансцендентных — простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Простейшие дифференциальные уравне-ния — с разделяющимися переменными, линейные, однородные и некоторые другие — также позволяют получать аналитические решения. При изучении других классов уравнений (интегральных и т.д.) удается выделить некоторые простейшие их разновидности, которые, с известными оговорками, решаются аналитически. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встре-чающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически.
Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощ-ными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, но в умелых руках численные методы позволяют получать решения множества уравнений, со-вершенно недоступных для аналитических методов. При этом надо заметить, что указанная недоступность может быть обусловлена двумя обстоятельст-вами: недостаточным уровнем математического образования того, кто реша-ет уравнение, и принципиальной невозможностью; в данном случае речь идет и о первом, и, что гораздо важнее, о втором обстоятельствах.
Объект исследования – процесс решения уравнений с помощью различ-ных численных методов.
Предмет исследования - численные методы решения уравнений.
Целью работы является изучение численных методов решения уравне-ний.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
1) изучить литературу по данной теме;
2) ознакомиться с численными методами решения уравнений;
3) научиться применять тот или иной метод в зависимости от предла-гаемого уравнения;
4) сравнить имеющиеся численные методы решения уравнений, выявить их достоинства и недостатки.
При изучении литературы по данной теме выявлено, что подавляющее большинство уравнений не могут быть решены аналитически, численные ме-тоды решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели анали-тические. На основе этого была выдвинута гипотеза: все уравнения можно решить с помощью численных методов с той или иной степенью точности.
Курсовая работа состоит из двух глав, введения, заключения и списка использованной литературы.
В первой главе изложены принципы вычисления корней алгебраических и трансцендентных уравнений итерационными методами и приведены их графические интерпретации.
Во второй главе приведены основные способы решения систем уравне-ний: метод Гаусса, метод прогонки, метод Зейделя и метод Крамера.
Глава 1
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1. Постановка задачи решения уравнений
При сопоставлении численных и аналитических методов надо пони-мать некоторую условность самого подразделения их на эти категории. По-ясним сказанное двумя примерами.
1. При решении квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 используют об-щеизвестные формулы, в которые входит квадратный корень. Если при неко-торых фиксированных значениях коэффициентов понадобятся численные значения корней, то придется использовать простейшую численную проце-дуру.
2. Дифференциальное уравнение .
Оно относится к простейшим в общепринятой классификации — урав-нение с разделяющимися переменными, можно «решить» в том смысле, ко-торый вкладывается в это понятие в теории дифференциальных уравнений, т.е. «в квадратурах»: . При любом фиксированном зна-чении С эта формула определяет функцию у(х), но интеграл, входящий в нее, не выражается в элементарных функциях, и вычислять его придется, скорее всего, снова численно. Таким образом, даже в тех случаях, когда можно дос-таточно далеко продвинуться в аналитическом решении уравнения, не ис-ключено применение на каком-либо этапе численных методов для того, что-бы получить решение в практически полезном виде.
Часто аналитические методы решения уравнений называют «точны-ми», а численные — «приближеЛитератураСписок литературы
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы./ Н.С. Бахвалов. – М., 2000. - 624с.
2. Заварыкин, В.М., Житомирский В.Г. Численные методы./ В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский. – М., 1990. – 176с.
3. Исаков, В.Н. Элементы численных методов./ В.Н. Исаков. – М.,2003. – 192с.
4. Бахвалов, Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях./ Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М., 2000. – 190с.
5. Лапчик, М.П. Численные методы./ М.П. Лапчик. – М.,2003.
6. Волков, Е.А. Численные методы./ Е.А. Волков. – М., 1982.
7. Годунов, С.К. Решение систем линейных уравнений./ С.К. Годунов. – М.,1980.
|
|
