СодержаниеВведение 5 1 Теоретическая часть 6 1.1 Постановка задачи 6 1.2 Дифференциальный алгоритм 6 1.2.1 Переменные состояния и переменные решения 6 1.2.2 Условные производные решения 8 1.2.3 Необходимые условия 9 1.2.4 Достаточные условия 10 1.2.5 Дифференциальный алгоритм 12 1.3 Метод Франка-Вулфа 16 1.3.1 Градиентные методы 16 1.3.2 Метод Франка-Вулфа 17 2 Практическая часть 19 2.1 Постановка задачи 19 2.2 Входные и выходные параметры 19 2.3 Решение дифференциальным алгоритмом 19 2.4 Решение методом Франка-Вулфа 22 2.5 Сравнительный анализ методов 24 Выводы 25 Список использованных источников 26 Приложение 27ВведениеПостановка задачи
Общая задача математического программирования имеет следующий вид: Здесь – минимизируемая функция, – область допустимых решений.
1.2 Дифференциальный алгоритм
1.2.1 Переменные состояния и переменные решения Область допустимых решений состоит из всех точек , которые удовлетворяют системе уравнений (1.1.2). В каждой окрестности точки имеется два типа точек: точки, не принадлежащие области , для которых , и точки, принадлежащие ей, для которых . Разобьем вектор на два составляющих вектора: , где – -мерный, а – -мерный ( ) векторы. Составляющие вектора называются переменными состояния (зависимыми переменными), а составляющие вектора – переменными решения (независимыми переменными). Пусть в качестве переменных состояния взяты первые составляющих вектора . Тогда
, . Разложим функцию и ограничения в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничиваясь линейными членами: , (1.2.1) . (1.2.2) Здесь – матрицы Якоби (размерности ) и управления (размерности ) соответственно: , . Выражение (1.2.2) равно нулю, поскольку нас интересует изменения функций (1.1.2), не выходящие из области допустимых решений . Система уравнений (1.2.1), (1.2.2) представляет собой линейное уравнение c неизвестным. Считаем, что эти уравнения линейно независимы; в противном случае берем их наибольшее число, образующее линейно независимую систему, пренебрегая остальными как избыточными. Отсюда, очевидно, автоматически исключается случай , когда число уравнений больше числа неизвестных, а не представляет интереса, поскольку единственно возможное решение есть , то есть не существует допустимой окрестности в области задания вообще, что выражается в (1.1.2). В общем случае разбиение на переменные состояния и решения производится произвольно. Единственное условие, которое при этом необходимо соблюдать, – неособенность матрицы Якоби: . Должно быть ровно зависимых и независимых переменных, но для решения рассматриваемой проблемы не имеет значения, какие из переменных к какой категории относятся, если выполнено данное условие. В конкретной ситуации иногда ясно, какие из переменных должны быть зависимыми, а какие – независимыми. Как бы не были выбраны независимые переменные, любые значения их приращений позволяют определить в результате решения системы (1.2.2) единственный ряд изменений зависимых переменных , не выводящих новую точку из заданной области. После этого результирующее изменение , вычисленное в соответствии с уравнением (1.2.1), можно использовать для анализа изменения критерия, чтобы увидеть, приводят ли указанные изменения к ее улучшению. Переменные решения можно изменять свободно, в то время как основное назначение переменных состояния – удержать новую точку в заданной области. Произвольное изменение более чем переменных выведет точку из заданной области . Задание менее переменных приводит к бесконечному множеству решений и к невозможности найти местоположение новой точки. Точное число независимых переменных (решений) называется числом степеней свободы системы. Каждое дополнительное ограничение уменьшает данное число и снижает число независимых переменных на единицу, упрощая тем самым проблему оптимизации.Литература1.Евдокимов А.Г. Минимизация функций и ее приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. – Харьков: Вища школа, 1985. – 288 с. 2.Акулич М.Л. Математическое программирование в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с. 3.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975. – 455 с. 4.Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод И.И. Высшая математика. Математическое программирование. – Мн.: Выш. школа, 1988. – 392 с.
|
|