СодержаниеВВЕДЕНИЕ 3rnГЛАВА I ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕМЫ «ВЗАИМОСВЯЗЬ РАЗДЕЛОВ КУРСА МАТЕМАТИКИ НА МАТЕРИАЛЕ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ» 6rn§ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ТЕМЕ «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ» 6rn1. Арифметическая прогрессия 6rn1.1 Определение арифметической прогрессии 6rn1.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии 7rn1.3. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 9rn2. Геометрическая прогрессия 10rn2.1. Определение геометрической прогрессии 10rn2.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии 11rn2.3 Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии 12rn3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 13rn§ 2. АНАЛИЗ ШКОЛЬНЫХ ПРОГРАММ, ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ. 15rn§3. РОЛЬ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ И ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В МАТЕМАТИКЕ 21rnГЛАВА II ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ. 29rn§1 ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ПРОГРЕССИЙ. 29rn§ 2. РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ПО УРОВНЯМ СЛОЖНОСТИ НА ПРИМЕНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ 32rn1. Задачи на применение определений, формулы n-го члена и характеристического свойства арифметической и геометрической прогрессий 34rn2. Задачи на применение формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. 40rn3. Задачи на применение формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии при ( ). 43rn4. Задача на применение не только основных формул по данной теме, но и на применение знаний из других разделов математики: геометрии, тригонометрии, анализа. 44rn5. Задачи, в содержании которых в явном виде понятие «прогрессия» отсутствует 50rn§ 3. ЗАДАЧИ НА ПРОГРЕССИИ ПРИЛАГАЕМЫЕ В ЕГЭ. 56rn§ 4. ОПИСАНИЕ СОБСТВЕННОГО ОПЫТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ. 58rnЗАКЛЮЧЕНИЕ 75rnСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 77ВведениеТермин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г.(Леонардо Пизанский).rnСуществует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. При изучении числовых последовательностей в курсе средней школы тема «Последовательности» является вспомогательной и рассматривается лишь в объеме, необходимом для изучения арифметической и геометрической прогрессии. Однако в реальной жизни мы часто встречаемся с различного вида последовательностями. Многие из них используются в самых различных науках. Например, числа Фибоначчи используются в хронологии и периодизации древнейшей истории, в архитектуре, искусстве, музыке, биологии, астрономии, при прогнозировании цен, определяют форму греческих ваз и спиральных галактик, строение подсолнуха и домика улитки, лежат в основе Фэн-шуй. В «Справочнике по целочисленным последовательностям» Н. Слоуна собрано и упорядочено 2300 целочисленных последовательности, а значит и область их применения очень широка. Какую бы профессию не выбрал ученик в будущем, он обязательно встретится с каким-нибудь числовым рядом. К сожалению, в основной школе, где на изучение темы отводится 14 часов, трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые для решения задач при сдаче ЕГЭ в 11 классе, вообще отсутствуют или перенесены в задачи и не воспринимаются школьниками как теоретические положения. Теоретический материал ученик применяет всегда, а свойства, заложенные в задачу, в лучшем случае, при изучении конкретной темы. Такое положение создает определенные трудности для дальнейшего изучения алгебры и на ЕГЭ. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной исследовательской работы.rnКроме того, большие трудности при изучении темы «Прогресии» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между сравнительно большим объемом содержания и довольно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. rnПредмет исследования – взаимосвязь разделов школьного курса математики rnна материале «Арифметическая и геометрическая прогрессии».rn Объектом исследования является процесс изучения прогрессии в курсе средней школы. rnПроблема этой исследовательской работы состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала.rnЦель дипломной работы – систематизировать и обобщить материал по арифметической и геометрической прогрессиям в процессе обучения математике.rnЗадачи:rn1. Выделить теоретические основы темы, с этой целью дать анализ школьных программ, учебников и методической литературы по данной теме, подобрать задачи различной сложности;rn2. Показать особенности содержания и формы проведения уроков по данной теме на различных уровнях обучения учащихся;rn3. Показать взаимосвязь школьных курсов алгебры, тригонометрии и геометрии на материале «арифметическая и геометрическая прогрессии»;rnМатериалы данной исследовательской работы имеют практическую значимость и могут быть использованы преподавателями при изложении темы «Прогрессии» в курсе алгебры в 9-х классах.ЗаключениеЗаключениеrnrnВ данной дипломной работе мною были рассмотрены методы решения задач на прогрессии изучаемые в курсе средней школы. Изучение прогрессий начинается в 9 классе, но так как их применение достаточно широко распространено в математике, то работа с прогрессиями продолжается как в 10-11 классах средней школы, так и в ВУЗах. Поэтому мною также рассмотрены задачи повышенной сложности и задачи на применение свойств прогрессий при решений тригонометрических и геометрических задач.rnРассмотрены и подробно решены задачи предлагаемые на ЕГЭ. Также хочется отметить то, что проведен подробный анализ школьных учебников, по которым ведется преподавание алгебры в 9 классе средней школы. rnrn Итак, приняв во внимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся прогрессий, мы проанализировали наиболее распространенные учебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и обобщили полученные результаты в § 3. Используя опыт практического преподавания, описанный в § 4 главы 2 можно сделать следующие выводы:rn1. Прогрессии являются фундаментальный основой для изучения числовых рядов при дальнейшем обучении.rn2. Преподавание темы «Прогрессии» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.rn3. Изучение прогрессий будет более эффективным, в том случае когда:rn перед введением прогрессий проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с последовательностями;rn решение задач на вычисление суммы членов прогрессии осуществляется после изучения основных свойств прогрессий и последовательностей;rn каждое свойство прогрессии четко обоснованно и все они сведены в систему.rn Числовая последовательность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент арифметической и геометрической прогрессий.rn4. Наиболее удачным как с методической, так и с содержательной точек зрения является учебник Мордковича А.Г..ЛитератураСписок литературыrnrn1. Айзенштат Я.И., Белоцерковская Б.Г. Решение задач по тригонометрии. 1960.rn2. Алимов, Ш.А. Алгебра 9 Ш.А. Алимов Учебник - Москва: Просвещение, 2001.rn3. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел для математических школ. 2002 rn4. Бачурин В.А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа. 2005rn5. Ваховский Е.Б., Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике повышенной трудности. – М. Наука, 1971rn6. Галицкий М.Л., “Сборник задач по алгебре, 8-9”. – Просвещение, 2009rn7. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник. 2003rn8. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. 1990rn9. Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2002rn10. Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2003 Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2004rn11. Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2005rn12. Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2006 rn13. Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2007 rn14. Дежищева Л.О. и др. Готовимся к ЕГЭ. Математика – М. Дрофа, с 2008 rn15. Евстафьева Л. П., Карп А. П. Математика: Дидактические материалы к учебнику 9 класса. — М.: Просвещение, 2006.rn16. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе Тобольск, Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева,rn17. Задачи по математике. Алгебра. Справ. пос. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. 1987 rnи др 52 источника
|
|
