Содержание1. Введение ………………………………………………………………………………….. 4rnrn2. Алгоритм составления задач ……………………………………………………………. 5rnrn3. Программная реализация алгоритма …………………………………………………… 9rnrn4. Заключение ……………………………………………………………………………… 13rnrn5. Список литературы ……………………………………………………………………... 14rnrn6. Приложение А …………………………………………………………………………... 15ВведениеВведение rnrn Одной из наиболее трудоемких задач в курсе линейной алгебры является задача определения жордановой формы и жорданова базиса линейного преобразования. Для решения этой задачи следует выполнить следующие действия:rn1. вычислить характеристический многочлен оператора А – det(А - λЕ);rn2. найти корни λ1, λ2, …, λs характеристического многочлена, называемые также собственными значениями - задача сама по себе непростая, и для ее решения существуют лишь приближенные алгоритмы;rn3. для каждого собственного значения вычислить соответствующие собственные вектора;rn4. построить канонический (жорданов) базис;rn5. в найденном базисе построить жорданову форму матрицы линейного оператора А.rn Это лишь краткий план решения данной задачи. Для реализации каждого из пунктов этого плана существуют более подробные и трудоемкие алгоритмы.rn Громоздкость таких вычислений затрудняет процесс составления подобного рода задач. Так в большинстве учебных материалов рассмотрены достаточно тривиальные случаи – матрицы небольшой размерности (обычно не более чем 5×5), имеющие определитель не превышающий 4. Сложность заключается еще и в том, чтобы составить задачи, трудность при решении которых будет состоять не в вычислениях, а только в реализации самого алгоритма решения.rn В данной работе будет сформулирован алгоритм составления задач для нахождения жордановой формы и жорданова базиса линейного преобразования, а также представлена программа, работающая по этому алгоритму. При этом задачи будут составляться таким образом, чтобы в процессе их решения все вычисления были в целых числах.ЗаключениеВ данной работе был сформулирован алгоритм составления целочисленных задач для нахождения жордановой формы и жорданова базиса линейного преобразования, а также представлена программа, работающая по этому алгоритму. Данная программа может быть использована в учебном процессе для составления преподавателем заданий для студентов в курсе линейной алгебры. rn Более того, при разработке программы были так же реализованы и алгоритмы решения других задач линейной алгебры: нахождение обратной матрицы, перемножение матриц, нахождение жорданова базиса, собственных значений и собственных векторов, решение линейного диофантова уравнения первой степени с помощью многомерного алгоритма Евклида.Литература1. Кострикин А.И. Введение в алгебру: в 2 ч. Ч.2. Основы алгебры: Учебник для вузов. – М.: Физико-математическая литература, 2000. – 368 с.rnrn2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Физико-математическая литература, 1970. – 400 с. с илл.rnrn3. Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.: МЦМНО, 2003. – 328 с.rnrn4. Жорданова форма линейного оператора: Методические указания. / Сост. С.И. Яблокова. – Ярославль: ЯрГУ, 1984. – 34 с.rnrn5. Архангельский А.Я. C++Builder 6. Справочное пособие: в 2 т. – М.: Бином-Пресс, 2002 г. – 2 т.
|
