Содержание1 Введение 4rnrn2 Хаусдорфова мера и размерность 7rnrn2.1 Хаусдорфова мера 7rnrn2.2 Хаусдорфова размерность 8rnrn2.3 Одномерный случай: обобщённое множество Кантора 10rnrn2.4 Двумерный случай: обобщённый ковёр Серпинского 17rnrn3 Системы итерированных функций 24rnrn3.1 Системы итерированных функций 24rnrn3.2 Реализация СИФ 25rnrn3.3 Примеры построения 38rnrnЗаключение 44rnrnСписок литературы 45Введение1. ВведениеrnВ прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы класси¬ческих вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладки¬ми или регулярными, часто игнорировались как «патологические» и не стоящие изучения.rnВ последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, ибо нерегулярные функции (мно¬жества) обеспечивают значительно лучшее представление многих при¬родных явлений, чем те, которые дают объекты классической геомет-рии.rnФрактальная геометрия связана с изучением таких нерегулярных множеств. Основной объект фрактальной геометрии – фракта¬лы – находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алго¬ритмах сжатия информации. Столь популярные ныне фрактальные объ¬екты – порождение нашего компьютерного мира, и их сфера примене¬ния еще до конца не раскрыта.rnВ последние 30 лет фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга франко – американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В настоящее время нет однозначного определения «фракта¬ла». Следуя Лаверье, фрактал – это геометрическая фигура, в кото¬рой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении мас¬штаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в ре¬зультате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных пре¬образований), будем называть конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал – это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной «точкой» – фракталом.rnНаряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похожи на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и, в первую очередь, в дискретных динамических системах. Их построение не так просто, как в случае конструктивных фракталов, и они могут обладать масштабной инвариантностью лишь приближенно. Подобные множест¬ва будем называть динамическими фракталами. В связи с этим Мандельброт ввел другое определение фрактала. Фрактал – это такое мно¬жество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической.rnВ первом определении слово «фрактал» – это от латинского «fractus», означающее изломанный. Во втором определении оно связано с английским «fractional» – дробный.rnПримером конструктивного фрактала может служить дерево, ствол которого разделен на две более мелкие ветви. В свою очередь, каждая из этих ветвей разделяется на две более мелкие ветви и т. д. В уме мы можем проделать эту процедуру бесчисленное число раз и получить древовидный фрактал с бесконечным числом ветвей. Каждую отдельную ветвь можно, в свою очередь, рассматривать как отдельное дерево. Эта конструкция имеет сходство с двоичной системой счисления. Другой пример фрактала – это множество Кантора. Это не только один из самых старых фракталов, он является так же существенной ча¬стью многих современных фракталов, например, таких, как кривые Ко¬ха и Минковского.rnПонятие «фрактал» уже доказало свою пользу в ряде прикладных областей. Например, если вводить случайное возмущение в регу¬лярный математический древовидный фрактал, можно добиться сходст¬ва с настоящим деревом. Фракталы используются при анализе и клас¬сификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например при анализе колебаний курса валют в экономике. Они приме¬няются в физике твердого тела, в динамике активных сред и т.д.rnВ настоящее время фракталы используются для сжатия изображений. Идея фрактального сжатия состоит в нахождении в изображении подобных областей и сохранении в файле только коэффициентов преобразований подобия. Например, в качестве таких областей можно брать квадратные области. Набор преобразований подобия – это сдвиг, отражение, поворот и изменение яркости с контрастностью. Сжатие происходит в случае, если коэффициенты преобразований займут места меньше, чем исходное изображение. rnТак же фракталы применяются в 3D графике (для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий, ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов), в механике жидкостей (для описания процессов динамики и турбулентности сложных потоков, моделирования пламени, изучения пористых материалов, в том числе в нефтехимии), в биологии (моделирование популяции, биосенсорные взаимодействия, процессы внутри организма), в проектировании антенных устройств и так далее.rnСтруктуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в окружающей нас природе: границы облаков, границы морских побережий, турбулентные потоки в жидкостях, трещины в некоторых породах, зим¬ние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полу¬ченные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сер¬дечной мышцы и т.д.rnЧтобы прояснить неточные определения конструктивных и динамических фракталов, укажем основные свойства фрактальных множеств F:rnF имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы;rnF слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционномrnгеометрическом языке;rnF имеет некоторую форму самоподобия, допуская приближенную илиrnстатистическую;rnОбычно «фрактальная размерность» множества F больше, чем егоrnтопологическая размерность;ЗаключениеЗаключениеrn В первой части работы написаны основные определения, касающиеся теории фракталов в целом, а так же приведён ряд примеров их использования.rnВторая часть является основным исследованием в данной работе. Рассмотрены вопросы о существовании и нахождении размерности Хаусдорфа для различных фрактальных множеств, на примере множества Кантора (глава 2.3) и ковра Серпинского (глава 2.4).rnВ третей части работы описаны системы итерированных функций (СИФ), которые в настоящее время применяются для сжатия изображений. Изучение СИФ может способствовать улучшению существующих алгоритмов сжатия изображений. Создана программа для построения классических фракталов: кривой Коха, кривой дракона и треугольника Серпинского, а так же их вариаций. Данная программа использует системы итерированных функций в основе алгоритма для построения фракталов.Литература1.Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 160 с.rnrn2.Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 254 с.rnrn3.Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.rnrn4.Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.rnrn5.Окстоби Дж. Мера и категория: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 160 с.rnrn6.Глызин С.Д. Численные методы анализа динамических систем: Учебное пособие. Ярославль: Ярославский государственный университет, 2002. 76 с.rnrn7.Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. 206 с.
|
|
