|
СодержаниеЗадание 1.rnВыписать 140-150 значений одного варьирующего количественного признака. Полученный массив данных считать совокупностью, которая подлежит статистическому изучению.rnИсходные данные:rnТабл. 1. Данные о размере чистых активов крупнейших банков России на 1 января 1997г., млрд. руб.rnНазвание банка Чистые активыrnБанк инвестиций и сбережений 172rnВнешторгбанк 25286rnНациональный резервный банк 9911rnОНЭКСИМ банк 19221rnМеждународная финансовая компания 9499rnИнкомбанк 17275rnТОКОбанк 6286rnИмпериал 6649rnАвтобанк 6728rnМеждународный московский банк 7609rnСБС 11602rnМеждународный промышленный банк 4887rnБашкредитбанк 1732rnРоссийский кредит 12278rnМосбизнесбанк 8453rnМЕНАТЕП 11058rnМосковский индустриальный банк 3117rnПромстройбанк России 5651rnПромышленно-строительный банк 3606rnУникомбанк 3743rnГазпромбанк 3649rnВозрождение 4079rnМост-банк 8405rnМосковский деловой мир 1951rnМежкомбанк 4065rnНефтехимбанк 2568rnСитибанк Т/О 2728rnЛанта-банк 630rnАльба-Альянс 804rnИнтерТЭКбанк 1295rnМосстройэкономбанк 1420rnГута-банк 5636rnРосэстбанк 1255rnСовфинтрейд 1356rnЛионский кредит 2145rnСобинбанк 811rnАльфа-банк 5387rnРусский банк имущественной опеки 425rnНижегородпромстройбанк 764rnЧейз Манхеттен Банк Интернэшнл 2317rnЗалогбанк 116rnЕврофинанс 1283rnКонверсбанк 2061rnОмскпромстройбанк 650rnАК БАРС 333rnЗапсибкомбанк 1137rnУралпромстройбанк 980rnДиалог-Банк 1012rnВКА-Банк 339rnКредит Свисс АО 2869rnРоссийский капитал 949rnМАПО-банк 1237rnДинамит 999rnРосэксимбанк 339rnТорибанк 2523rnУральский банк реконструкции и развития 513rnДальрыббанк 633rnУралтрансбанк 622rnВостсибкомбанк 682rnПробизнесбанк 1486rnКредобанк 905rnМеталлургический 599rnПетровский 1094rnМонтажспецбанк 489rnЕнисей, Уфа 765rnЕнисей, Красноярск 867rnНефтефромбанк 469rnОРГБАНК 619rnЖелдорбанк 871rnЗолото-Платина-Банк 312rnБанк Москвы 1159rnСлавянский банк 461rnЕвразия-Центр 235rnРНКБ 903rnВосток-Запад 729rnРиаблик Нэшнл 944rnБэнк оф Нью 416rnТранскредит 439rnЗаречье 450rnПромадтехбанк 1181rnЗенит 1363rnКубаньбанк 709rnМеталлинвестбанк 959rnСолидарность 513rnСосьете Женераль Восток 796rnПервый профессиональный 170rnПрио-Внешторгбанк 370rnКапитал 548rnТомскпромстройбанк 461rnАспект 210rnПлатина 359rnОлимпийский 429rnКузбассоцбанк 704rnМетбанк 498rnМоснарбанк Лимитед 112rnЧелябинвестбанк 328rnЮнибест 881rnКамчаткомагропромбанк 292rnЭлбим-банк 439rnКредитимпексбанк 668rnФундамент-банк 186rnЮгра 522rnКурскпромбанк 244rnТайдон 129rnУралвнешторгбанк 550rnБНП-Дрезднер банк 1598rnПресня-банк 435rnРостпромстройбанк 588rnСургутнефтегазбанк 401rnРусский индустриальный банк 546rnНефтяной 531rnСолидарность 460rnИнтернационале Нидерланден банк Евразия 1489rnПрогресспромбанк 369rnЕвропейский торговый банк 331rnПромторгбанк 183rnИнтехбанк 232rnСибэкобанк 173rnНовосибирск-внешторгбанк 262rnГазбанк 218rnВолго-Окский региональный Внешторгбанк России 343rnПромсвязьбанк 311rnЭкономбанк 443rnНовая Москва 517rnПервый Инвестиционный 202rnТагилбанк 239rnСовинком 140rnКредит-Москва 337rnПодольск-промкомбанк 204rnМосстройбанк 1004rnДержава 189rnПроминвестбанк 296rnРТБ-Банк 78rnХанты-Мансийский банк 452rnАБН АМРО банк 1320rnВолгопромбанк 258rnИнтурбанк 629rnБелгородпромстройбанк 342rnУральский трастовый банк 110rnКогалымнефтеКогалымкомбанк 559rnrn rnЗадача 2.rnПо имеющимся значениям признака построить равноинтервальный вариационный ряд (6-8 интервалов) и рассчитать следующие характеристики (оценки) и их среднеквадратичные ошибки: . Построить гистограмму, полигон и кумулянту. Произвести выравнивание по теоретической кривой нормального или иного распределения и применить критерии согласия (хи-квадрат, критерии Романовского и Колмогорова). Разделить изучаемую совокупность на 3-4 подгруппы, определить внутригрупповые и межгрупповую дисперсию и проверить правило сложения вариаций (дисперсий). Сделать выводы.rnРешение:rnРассчитаем размер интервала. При группировке с равными интервалами применяется формула:rn rnгде:rn – (размах вариации);rn и – соответственно максимальное и минимальное значения признака;rn – число групп.rnТабл. 2. Чистые активы, млрд. руб.rnИнтервал Количество В процентах к итогуrn78-3229 117 83,571rn3229-6380 10 7,143rn6380-9531 6 4,286rn9531-12682 4 2,857rn12682-15833 0 0,000rn15833-18984 1 0,714rn18984-22135 1 0,714rn22135-25286 1 0,714rnrnrnrnСреднее арифметическоеrn млрд. руб.rnРасчетная таблицаrnИнтервал Колиrnчество rn rn rn rn rnНакопленная частотаrn78-3229 117 1653,5 193459,5 160263005,9 -187567243110,265 219523342272165 117rn3229-6380 10 4804,5 48045 39228895,38 77697871014,402 153890623270296 127rn6380-9531 6 7955,5 47733 158001670,8 810805888059,924 4160754661050820 133rn9531-12682 4 11106,5 44426 274407744,2 2272817422406,560 18824902520465200 137rn12682-15833 0 14257,5 0 0 0,000 0 137rn15833-18984 1 17408,5 17408,5 212711390,6 3102316624324,920 45246135676747100 138rn18984-22135 1 20559,5 20559,5 314552520,8 5578786675535,220 98943288356527500 139rn22135-25286 1 23710,5 23710,5 436251253,1 9111817886919,290 190315155814582000 140rnИтого: 395342 1595416481 20766675125150,100 357863650994916000,000 rn rnСреднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается :rn rn rn rn rnКоэффициент вариации.rn rnДля интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:rn rnгде - начальное значение интервала, содержащего моду;rn - величина модального интервала;rn - частота модального интервала;rn - частота интервала, предшествующего модальному;rn - частота интервала, следующего за модальным.rnМедиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле rn rnгде - начальное значение интервала, содержащего медиану;rn - величина медианного интервала;rn - сумма частот ряда;rn - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;rn - частота медианного интервала.rnКвартилиrn rn rnrnrnГистограмма распределенияrn rnПолигон распределенияrn rnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnКумулянтаrn rnПроизведем выравнивание по теоретической кривой нормального или иного распределения и применить критерии согласия (хи-квадрат, критерии Романовского и Колмогорова).rnНормальное распределение зависит от двух параметров: средней арифметической и среднего квадратического отклонения . Его кривая выражается уравнениемrn rnгде у - ордината кривой нормального распределения; - стандартизованные отклонения; x - варианты вариационного ряда; - их средняя величина; - cреднее квадратическое отклонение.rnЕсли нужно получить теоретические частоты f\\\' при выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения, то можно воспользоваться формулойrn rnгде N- сумма всех эмпирических частот вариационного ряда; h - величина интервала в группах; - cреднее квадратическое отклонение; - нормированное отклонение вариантов от средней арифметической.rnrnrnИнтервал Количество rny f’ rnrn78-3229 117 1653,5 0,375672282 49,092208775 93,93483rn3229-6380 10 4804,5 0,335860958 43,889733286 26,16817rn6380-9531 6 7955,5 0,125638827 16,418266226 6,610946rn9531-12682 4 11106,5 0,019665374 2,569837299 0,795912rn12682-15833 0 14257,5 0,001287937 0,168305359 0,168305rn15833-18984 1 17408,5 0,000035294 0,004612159 214,8228rn18984-22135 1 20559,5 0,000000405 0,000052884 18907,3rn22135-25286 1 23710,5 0,000000002 0,000000254 3941314rnrnНаиболее распространенным является критерий согласия К. Пирсона , который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между f\\\' и f к теоретическим частотам:rn rnВычисленное значение критерия расч. необходимо сравнить с табличным (критическим) значением кр. Табличное значение определяется по специальной таблице, оно зависит от принятой вероятности Р и числа степеней свободы k (при этом k = m – 3=6-3=3, где m - число групп в ряду распределения для нормального распределения). С вероятностью кр,3=7,8.rnТо есть , то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами распределения не могут быть случайными и предположение о близости эмпирического распределения к нормальному может быть отвергнуто.rnВ том случае, если отсутствуют таблицы для оценки случайности расхождения теоретических и эмпирических частот, можно использовать критерий согласия В.И. Романовского КРом , который, используя величину , предложил оценивать близость эмпирического распределения кривой нормального распределения при помощи отношенияrn rnгде m - число групп; k = (m - 3 =3) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения.rnВышеуказанное отношение > 3, то расхождения эмпирических и теоретических частот нельзя считать случайными, а эмпирическое распределение – не соответствующим нормальному и гипотезу о нормальном распределении следует отвергнуть.rnКритерий согласия А.Н. Колмогорова используется при определении максимального расхождения между частотами эмпирического и теоретического распределения, вычисляется по формулеrn rnгде D - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; - сумма эмпирических частот.rnПо таблицам значений вероятностей - критерия можно найти величину , соответствующую вероятности Р., так как величина вероятности Р значительна меньше найденной величины , то можно предположить, что расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями существенны.rnРазделить изучаемую совокупность на 3-4 подгруппы, определить внутригрупповые и межгрупповую дисперсию и проверить правило сложения вариаций (дисперсий)rnСоставим расчетную таблицу:rnИнтервал Количество Среднее групповое rn rnrn78-6380 127 1065,969 198284502 127211288rn6380-12682 10 9219,2 35626788 511568258rn12682-18984 1 17275 0 231289347rn18984-25286 2 22253,5 18392113 815005714rnИтого: 1065,969 252303402 1685074606rn rnТо есть правило сложения дисперсий выполняется.rn rnЗадание 3. rnВыписанные ранее индивидуальные значения считать собственно-случайной выборкой. Рассчитать среднюю и предельную ошибки выборки для повторного и бесповторного отбора. Определить доверительные границы для выборочной средней. Рассчитать среднюю и предельную ошибки для типической выборки, а также дать пример расчета предельной ошибки для малой выборки и для серийной выборки.rnРешение:rnБудем считать, что выписанные ранее индивидуальные значения получены собственно-случайной 10% выборкой.rn rnПри случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле:rn ,rn где — средняя ошибка выборочной средней;rn — дисперсия выборочной совокупности;rnn — численность выборки.rnПри бесповторном отборе она рассчитывается по формуле:rn ,rnгде N — численность генеральной совокупности.rnПредельная ошибка выборки связана со средней ошибкой выборки отношением: rn .rnРассчитаем предельную ошибку выборки для доли с вероятностью 0,954:rnПри повторном отбореrn rnпри бесповторном отбореrn rnПолучим доверительные границы для выборочной средней:rn rnПри повторном отбореrn rnпри бесповторном отбореrn rnДля типической выборки:rnДля выявления доли простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов была проведена фотография рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих внутри цехов производится методом механического отбора. В результате выборки были получены следующие данные:rnЦех Число рабочих в выборке Удельный вес простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов, %rn№1 20 5rn№2 36 10rn№3 14 15rn№4 30 2rnС вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов.rnРассчитаем долю простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов в выборке:rn rnРассчитаем дисперсии типических групп:rnдля группы rnСредняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:rn rnОпределяем среднюю ошибку в выборочной доле:rn rnРассчитаем предельную ошибку выборки для доли с вероятностью 0,954:rn rnС вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля простоев рабочих из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов находится в пределах .rnПример расчета предельной ошибки выборки для малой выборки.rnПри контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены данные о содержании поваренной соли в пробах. По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.rnРасчетная таблицаrnПробы rn rn rnrn4,3 0,2 0,04rn4,2 0,1 0,01rn3,8 0,3 0,09rn4,3 0,2 0,04rn3,7 - 0,4 0,16rn3,9 - 0,2 0,04rn4,5 0,4 0,16rn4,4 0,3 0,09rn4,0 - 0,1 0,01rn3,9 - 0,2 0,04rn 41,0rn— 0,68rn rnОпределяем дисперсию малой выборки:rn rnОпределяем среднюю ошибку малой выборки:rn rnИсходя из численности выборки (n=10) и заданной вероятности =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента значение коэффициента доверия t=2,263.rnПредельная ошибка малой выборки составит:rn rnСледовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах:rn , т.е. от 4,1% - 0,2%=3,9%rnдо 4,1%+0,2%=4,3%.rnПример для серийной выборки.rnВ механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:rnРабочие Разряды рабочих в бригаде 1 Разряды рабочих в бригаде 2rn1 2 3rn2 4 6rn3 5 1rn4 2 5rn5 5 3rn6 6 4rn7 5 2rn8 8 1rn9 4 3rn10 5 2rnrnНеобходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.rnОпределим выборочные средние по бригадам и общую среднюю:rn rn rn rnОпределим межсерийную дисперсию:rn rnРассчитаем среднюю ошибку выборки:rn rnВычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997.rn rnС вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах .rn rnЗадание 4.rnИз любого источника выписать динамический ряд, состоящий из 12 - 15 уровней. Рассчитать следующие характеристики: абсолютный прирост, ускорение, коэффициенты и темпы роста (или снижения) и прироста – цепные и базисные, средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний коэффициент роста, абсолютное значение одного процента прироста и т. д. произвести выравнивание по 3 или 4 теоретическим кривым, указав наибольшую степень аппроксимации. Произвести экстраполяцию, рассчитать показатели колеблемости, определить доверительные границы прогноза. Сделать выводы по существу.rnРешение:rnИсходные данные.rnГод Среднегодовая численность ППП, чел.rn1985 470rn1986 500rn1987 505rn1988 533rn1989 540rn1990 589rn1991 577rn1992 594rn1993 640rn1994 628rn1995 646rnrnДля выражения абсолютной скорости роста уровня ряда динамики исчисляют абсолютный прирост, который определяется по формуле:rn rnИнтенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается темпом роста, который вычисляется по формуле:rn rnДля выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста:rn rnПоказатель абсолютного значения одного процента прироста определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах:rn rnrnГод Среднегодовая численность ППП, чел. Абсолютный прирост Темп роста Темп прироста Абсолютное значение 1% прироста.rn Цепrnной Базисrnный Цепrnной Базисrnный Цепrnной Базисrnный rn rn1985 470 - - 100,00 - 0,00 -rn1986 500 30 30 106,383 106,383 6,383 6,383 4,7rn1987 505 5 35 101,000 107,447 1,000 7,447 5rn1988 533 28 63 105,545 113,404 5,545 13,404 5,05rn1989 540 7 70 101,313 114,894 1,313 14,894 5,33rn1990 589 49 119 109,074 125,319 9,074 25,319 5,4rn1991 577 -12 107 97,963 122,766 -2,037 22,766 5,89rn1992 594 17 124 102,946 126,383 2,946 26,383 5,77rn1993 640 46 170 107,744 136,170 7,744 36,170 5,94rn1994 628 -12 158 98,125 133,617 -1,875 33,617 6,4rn1995 646 18 176 102,866 137,447 2,866 37,447 6,28rnrnСредние показатели динамики.rnДля моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:rn rnОпределение среднего абсолютного прироста производится по цепным абсолютным приростам по формуле:rn rnСредний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической:rn rnСредний темп прироста получим по формуле:rn rnСредняяrnхронологическая Средний абсолютный прирост Среднегодовой rnТемп роста Среднегодовой rnТемп приростаrn566,4 17,6 103,23 3,23rnrnОбычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X. rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrnГод rn rn rn rn rn rnrn1985 1 470 1 470 476,7273 1,189rn1986 2 500 4 1000 494,5091 0,971rn1987 3 505 9 1515 512,2909 1,289rn1988 4 533 16 2132 530,0727 0,518rn1989 5 540 25 2700 547,8545 1,389rn1990 6 589 36 3534 565,6364 4,131rn1991 7 577 49 4039 583,4182 1,135rn1992 8 594 64 4752 601,2 1,273rn1993 9 640 81 5760 618,9818 3,716rn1994 10 628 100 6280 636,7636 1,549rn1995 11 646 121 7106 654,5455 1,511rnИтого 66 6222 506 39288 6222 18,669rnСредняя 6 565,6364 — — — 1,697rnΔ= 1210 — — — — —rnΔа0= 555324 rn458,945 — — —rnΔа1= 21516 rn17,782 — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 1210;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 555324.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn 21516.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 1,697%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X.rnПостроение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка.rnГод rn rn rn rn rn rn rnrn1985 1 0 470 0,000 0,000 444,112 4,577rn1986 2 0,693 500 0,480 346,574 497,052 0,521rn1987 3 1,099 505 1,207 554,799 528,020 4,070rn1988 4 1,386 533 1,922 738,895 549,993 3,004rn1989 5 1,609 540 2,590 869,096 567,036 4,780rn1990 6 1,792 589 3,210 1055,346 580,961 1,421rn1991 7 1,946 577 3,787 1122,790 592,734 2,782rn1992 8 2,079 594 4,324 1235,188 602,933 1,579rn1993 9 2,197 640 4,828 1406,224 611,929 4,963rn1994 10 2,303 628 5,302 1446,023 619,976 1,419rn1995 11 2,398 646 5,750 1549,040 627,255 3,314rnИтого 17,50231 6222 33,400 10323,976 6222,000 32,429rnСредняя 1,591 565,64 — — — 2,948rnrnРасчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:rn ; ; . Отсюда получаем параметры уравнения:rn , rnПолученное уравнение имеет вид: .rnОценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую тенденция хуже, чем линейная модель: скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 2,948%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.rnТаким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.rnПроведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае, выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, в котором линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение после логарифмирования приобретает следующий вид: .rnГод rn rn rn rn rn rn rn rnrn1985 1 470 0 6,153 0,000 0,000 6,113 451,500 3,271rn1986 2 500 0,693 6,215 0,480 4,308 6,208 496,945 0,540rn1987 3 505 1,099 6,225 1,207 6,838 6,265 525,620 3,646rn1988 4 533 1,386 6,279 1,922 8,704 6,304 546,964 2,469rn1989 5 540 1,609 6,292 2,590 10,126 6,335 564,114 4,263rn1990 6 589 1,792 6,378 3,210 11,429 6,360 578,526 1,852rn1991 7 577 1,946 6,358 3,787 12,372 6,382 590,997 2,475rn1992 8 594 2,079 6,387 4,324 13,281 6,400 602,017 1,417rn1993 9 640 2,197 6,461 4,828 14,197 6,417 611,909 4,966rn1994 10 628 2,303 6,443 5,302 14,834 6,431 620,894 1,256rn1995 11 646 2,398 6,471 5,750 15,516 6,444 629,136 2,981rnИтого 6222 17,502 69,659 33,400 111,605 69,660 6218,623 29,136rnСредняя 1,591 6,333 — — — — 2,649rnВ результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:rn 61,071;rn 373,3;rn 8,45.rnПараметры степенной функции составляют:rn ; .rnrnУравнение имеет вид: lnY=ln a0 + a1*ln X = 6,113 + 0,138*lnX , а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:rn .rnПолученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью (ошибка аппроксимации на уровне 2,649% ).rnОчевидно, что недостатки степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:rnЕсли рассчитать прогнозное значение в 1996 году ( Xпрогнозн.= 12), то прогнозное значение результата сформируется на уровне: . rnРассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии - . То есть, .rnВ нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (чел.).rnОшибка положения регрессии составит: =rn= 0,781(чел.).rnИнтегральная ошибка прогноза составит: = = 2,922 (чел.).rnПредельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*2,922 = 6,604 ≈ 7,0 (чел.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит чел.rnЭто означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит rn = 672,323 + 7,0 = 679,323(чел.).rnНижняя граница доверительного интервала составит: = 665,323(чел.).rnОтносительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 1,02 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма велика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной большой точности прогноза является низкая ошибка аппроксимации. Здесь её значение не выходит за границу 5-7% из-за достаточно высокой типичности линейной регрессии.rn rnЗадание 5.rnВыписать не менее 15 значений трех количественных признаков, два из которых (X1 и X2) являются факторами. Найти уравнение парной регрессии между X1 и Y, а также меры тесноты их связи ( ). Оценить их надежность, произвести увязку параметров линейного уравнения регрессии с коэффициентами корреляции. Далее, используя все три признака, найти коэффициент множественной корреляции и определить его значимость. Рассчитать и другие показатели, и критерии, используемые в корреляционно-регрессионном анализе.rnНа отдельном примере рассчитать показатели тесноты связи для качественных признаков ( ).rnРешение:rnИсходные данныеrnСоотношение доходов населения и цен на жилье по регионам РФrn№ Название банка Чистые активы Капитал Прибыльrn1 Уникомбанк 3743 743 57rn2 Внешторгбанк 25286 5741 1962rn3 Национальный резервный банк 9911 2952 645rn4 ОНЭКСИМ банк 19221 2846 266rn5 Международная финансовая компания 9499 1941 512rn6 Инкомбанк 17275 1784 744rn7 ТОКОбанк 6286 1702 282rn8 Империал 6649 1508 429rn9 Автобанк 6728 1459 913rn10 Международный московский банк 7609 1384 290rn11 СБС 11602 1363 175rn12 Международный промышленный банк 4887 1197 18rn13 Башкредитбанк 1732 1106 417rn14 Российский кредит 12278 1079 367rn15 Мосбизнесбанк 8453 895 481rn16 МЕНАТЕП 11058 893 146rn17 Московский индустриальный банк 3117 866 365rn18 Промстройбанк России 5651 772 239rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rn№ rn rn rn rn rnrn1 1732 417 2999824 722244 103,066 68,017rn2 3117 365 9715689 1137705 166,990 42,901rn3 3743 57 14010049 213351 195,882 30,090rn4 4887 18 23882769 87966 248,683 49,980rn5 5651 239 31933801 1350589 283,945 9,738rn6 6286 282 39513796 1772652 313,253 6,771rn7 6649 429 44209201 2852421 330,008 21,448rn8 6728 913 45265984 6142664 333,654 125,520rn9 7609 290 57896881 2206610 374,316 18,268rn10 8453 481 71453209 4065893 413,270 14,674rn11 9499 512 90231001 4863488 461,548 10,931rn12 9911 645 98227921 6392595 480,564 35,627rn13 11058 146 122279364 1614468 533,503 83,956rn14 11602 175 134606404 2030350 558,611 83,113rn15 12278 367 150749284 4506026 589,811 48,274rn16 17275 744 298425625 12852600 820,445 16,563rn17 19221 266 369446841 5112786 910,262 139,585rn18 25286 1962 639381796 49611132 1190,189 167,219rnИтого 170985 8308 2244229439 107535540 8308 972,673rnСреднее 9499,166667 461,5555556 54,037rnСигма 5869,007 427,157 rnДисперсия 34445245,917 182463,025 rnrnrnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,046 означает, что при увеличении чистых активов на 1 млрд. руб. (от своей средней) прибыль возрастёт на 0,046 млрд. руб. (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = 23,126 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на прибыль.rnОтносительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности: rn rnВ нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:rn rnЭто означает, что при изменении чистых активов на 1% от своей средней прибыль увеличивается на 0,949 процента от своей средней.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,634, показывает, что выявлена достаточно сильная между объемом чистых активов и прибылью. Коэффициент детерминации, равный 0,402, устанавливает, что вариация прибыли на 40,2% из 100% предопределена вариацией чистых активов; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 59,8%, что является достаточно большой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где k - число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=18-1-1=16 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости прибыли от чистых активов и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 54,037%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).rnПри построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт -коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.rn rn rn rn ;rnrn ;rnВ результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:rnrn rnС увеличением чистых активов на 1 млрд. руб. прибыль уменьшается на 0,03 млрд. руб., с увеличением капитала на 1 млрд. руб. прибыль возрастает на 0,851 млрд. руб. rnНо так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.rnТесноту выявленной зависимости оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов: В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:rn .rn rnКак показали расчёты, установлена средняя зависимость прибыли от капитала и чистых активов. Это означает, что 68,1% вариации прибыли определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 31,9% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.rnОценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .rnДля проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.rn .rnВ нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:rn .rnДля принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 18-2-1=15 при α=0,05 Fтабл = 3,68. В силу того, что Fфактич =16,011> Fтабл. = 3,68, можно с не очень высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.rnrnНепараметрические методы применяются для измерения тесноты связи качественных и альтернативных признаков, а так же количественных признаков, распределение которых отличается от нормального распределения.rnДля измерения связи альтернативных признаков применяются коэффициент ассоциации Дэвида Юла и коэффициент контингенции Карла Пирсона.rnпроанализируем зависимость между полом и фактом совершения покупки посетителями магазина.rn 1 признакrnrnrnrn2 признак М Ж ИтогоrnКупил 24 32 56rnНе купил 16 28 44rnИтого 40 60 rnrn rnНаблюдается очень слабая прямая связь между полом и фактом свершения покупки. Предельное абсолютное значение коэффициента может быть близко к единице.rnКоэффициент ассоциации непригоден для расчета в том случае, если одна из частот по диагонали равна 0. В этом случае применяется коэффициент контингенции, который рассчитывается по формуле:rn rnКоэффициент контингенции также указывает на практическое отсутствие связи между признаками (его величина всегда меньше Кас).rnЕсли значения признака распределены более чем по 2 группам, то для определения тесноты связи применяют коэффициенты взаимной сопряженности признаков Пирсона, Чупрова и др.rnПоказатель Пирсона определяется по формуле , где - показатель взаимной сопряженности признаков, который рассчитывается на основе матрицы взаимного распределения частот.rnРассмотрим зависимость между величиной магазина и формой обслуживания.rnrn Самообслуживание Традиционное ИтогоrnМелкиеrnмагазины 12 45 57rnСредние 19 10 29rnКрупные 14 4 18rnИтого 45 59 rnrnrnrnrnrnrn rnКоэффициент свидетельствует о наличии заметной связи между величиной магазина и формой его обслуживания. Более точным показателем тесноты связи является коэффициент Чупрова, который определяется по формуле:rn , где - соответственно число групп, выделенных по каждому признаку.rn rn rnЗадание 6.rnПодобрать примеры и рассчитать: агрегатные индексы физического объема, цен, товарооборота, абсолютные разности, индексы фиксированного и переменного составов, индексы структурных, ассортиментных сдвигов, индексы территориальных сдвигов.rnРешение:rnrnВид продукции (варианты) Базисный период Текущий периодrn Выпуск rnпродукции, тыс. шт. Цена rnза единицу, тыс. руб. /шт. Выпуск rnпродукции, тыс. шт. Цена rnза единицу, тыс. руб./шт.rn A 3 H 6rnI 66 3 37 3rnII 56 5 40 5rnIII 63 7 62 9rnrn1. Индивидуальные индексы цен и физического объема товарооборота.rnИндивидуальные индексы вычисляются по формулеrn rnИндивидуальные индексы физического объема товарооборота вычисляются по формулеrn rnТаб. «Индивидуальные индексы»rnПродукты Индексы цен Индексы физического объемаrnтоварооборота Индекс товарооборотаrnА 1,000 0,561 0,561rnБ 1,000 0,714 0,714rnВ 1,286 0,984 1,265rn2. Общий индекс цен вычисляется по формуле.rn rn3. Общие индексы.rnОбщий индекс физического объема вычисляется по формулеrn rnОбщий индекс стоимостиrnrn rnАбсолютное изменение стоимости произведенной продукцииrn тыс. руб.rnв том числеrnза счет изменения цен на отдельные виды продукцииrn тыс. руб.rnза изменения структурыrn тыс. руб.rnОсобый подход существует при индексировании средних величин. Индекс средней величины определяется как отношение ее значений в текущем и базисном периоде. Например, индекс средней цены будет определяться так:rn rnПри этом на величину средней влияет как изменение цен, так и изменение структуры набора продукции, для которой определялась средняя цена, поскольку в ее расчете участвуют веса разных периодов (q0 и q1). Поэтому индекс средней величины называется индексом переменного состава, а для анализа влияния на индекс средней величины непосредственного изменения усредняемой величины (в данном случае - цены) определяется индекс фиксированного состава:rn ,rnа изменения структуры продукции - индекс структурного (ассортиментного) сдвига:rn rnВыводы: Стоимость продукции снизилась на 50 тыс. руб. или на 5,4%, за счет роста цен выросла на 124 тыс. руб. или на 16,6% и за счет изменения структуры снизилась на 174 тыс. руб. или на 18,9 %.rnСредняя цена выросла на 1,284тыс. руб. или на 25,9%, в том числе увеличилась на 0,893тыс. руб. или на 16,6% за счет изменения цен, и выросла на 0,391тыс. руб. или на 7,9% за счет изменения структуры.ВведениеЛитература
|
|
