СодержаниеОглавление
Введение. Исследование плоской кривой по ее уравнению.....3
1. Общие сведения о циклоидальных кривых. 6
2. Розы Гвидо Гранди. Общие свойства. 18
3. Разнообразие роз Гвидо Гранди. 22
4. Связь с другими кривыми. 37
5. Историческая справка. 41
6. Применение в технике. 43
Заключение. 51
Список литературы. 52ВведениеВведение. Исследование плоской кривой по ее уравнению
Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Существуют следующие аналитические способы задания
плоской кривой: 1) в декартовых координатах: F(x, у) = 0 (в неявном
виде), у = f(x) (в явном виде), х = x(t), у = y(t) (в параметрическом виде); 2) в полярных координатах: .
Все функции F(x, у), f(x), x(t), y(t), мы будем предполагать непрерывными и имеющими производные 1-го, 2-го порядка, а в нужных случаях и высшего порядка по аргументам.
Алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координат в виде:
Число членов равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты не могут быть нулями.
Касательная к кривой в точке (x, y) определяется из уравнения:
,
где , если кривая задана в неявном виде; , если кривая задана в явном виде; и , если кривая задана в параметрическом виде.
Угол касательной к оси абсцисс .
Дифференциал дуги кривой: .
Радиус кривизны определяется из соотношения:
Натуральным уравнением кривой называется уравнение вида:
или .
Регулярной или аналитической функцией, зависящей от переменных x, y, … называют всякую функцию этих переменных, которая вблизи системы значений , , … может быть разложена в ряд Тейлора по степеням разности , , …, сходящийся, пока абсолютные значения этих разностей (в случае их действительных значений) или их модули (в случае их комплексных значений) не превосходят некоторых пределов.
Пусть кривая задается регулярной функцией F(x, y)=0 и левая часть может быть разложена в ряд:
.
Положим, что для , все производные от левой части уравнения кривой до производных порядка (m-1) включительно обращаются в нули, но по крайней мере одна из производных порядка m отлична от нуля; тогда уравнение
,
где символическое произведение заменяем на , определит m значений k (действительных или мнимых), и, следовательно, для рассматриваемой точки кривой определятся m касательных; такая точка кривой называется особой точкой кратности m.
Эволютой, или разверткой, для данной кривой назовем геометрическое место центров ее кривизны; так как центр кривизны является вместе с тем цЛитератураСписок литературы
1. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство).
2. Гильберд Д. Наглядная геометрия.
3. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия.
4. Норден А.П. Дифференциальная геометрия.
5. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии.
|
