СодержаниеРабота состоит из
1. Теоретическая часть
2. Практическая часть
3. Листинг программы
4. Список литературыВведениеІ. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
1.1. Метод наименьших квадратов
Линейная регрессия (теоретическое линейное уравнение регрессии) представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием зависимой переменной Y и одной объ¬ясняющей переменной X ( – значения независимой перемен¬ной в i-ом наблюдении, ).
. (1.1)
Для отражения того факта, что каждое индивидуальное значение отклоняется от соответствующего условного мате¬матического ожидания, необходимо ввести в последнее соотношение случайное слагаемое .
(1.1)
Это соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью, и – теоретическими парамет¬рами (теоретическими коэффициентами) регрессии, – слу¬чайным отклонением.
Следовательно, индивидуальные значения представляют¬ся в виде суммы двух компонент – систематической и случайной , причина появления которой достаточно под¬робно рассмотрена ранее. В общем виде теоретическую линейную регрессионную модель будем представлять в виде:
. (1.2)
Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать и использовать все значения пере¬менных X и Y генеральной совокупности, что практически не¬возможно.
Таким образом, задачи линейного регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных X и Y:
а) получить наилучшие оценки неизвестных параметров и ;
б) проверить статистические гипотезы о параметрах модели;
в) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным на¬блюдений).
Следовательно, по выборке ограниченного объема мы смо¬жем построить так называемое эмпирическое уравнение рег¬рессии
(1.3)
где – оценка условного математического ожидания ; и – оценки неизвестных параметров и , называе¬мые эмпирическими коэффициентами регрессии. Следователь¬но, в конкретном случае:
(1.4)
где отклонение – оценка теоретического случайного откло¬нения .
Параметры уравнения и находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных от выравненных :
. (1.5)
Эта функция является квадратичной функцией двух параметров и . Условием существования минимума функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных:
Разделив оба уравнения системы на n, получим:
,
где (1.6)
1.2. Метод итерации.
Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.
Суть метода
Дано f(x)=0 (1)
Заменим уравнение (1) равносильным уравнением
x=φ(x) (2)
Выберем грубое, приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:
x1= φ(x0) (3)
далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:
x2= φ(x1) (4)
x3= φ(x2) (5)
Проделаем данный процесс n раз получим xn=φ(xn-1)
Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел
x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.
Выражение (5) запишем как
x*= φ(x*) (6)
Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся.
Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие:Литература1. Мельникова О.И., Бонюшкина А.Ю. Начала программирования на языке Qbasic: Учебное пособие = М.: Издательство ЭКОМ, 2000 – 304 с., ил.
2. Бирюков С.И. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учеб. пособие. — М. : МЗ-Пресс, 2003. — 248с. : рис. — (Серия "Естественные науки). — Библиогр.: с. 245-246.
3. Волков Е.А. Численные методы: Учеб. пособие. — 3.изд., испр. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2004. — 248с. : рис., табл. — (Учебники для вузов). — Библиогр.: с. 244.
4. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учебник для студ. высших техн. учеб. заведений / В. С. Зарубин (ред.), А.П. Крищенко (ред.). — М. : Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. — 439с. : рис., табл. — (Серия "Математика в техническом университете"; Вып.14). — Библиогр.: с. 428-432.
5. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. — 4. изд., испр. и доп. — М. : Физматлит, 2000. — 295с. : рис. — Бібліогр.: с.285-287."
|
