Данные наблюдений и соответствующие коэффициенты в матричной форме выглядят следующим образом:
.
Здесь -мерный вектор-столбец наблюдений зависимой переменной ; – матрица размерности , в которой -тая строка представляет наблюдение вектора значений независимых переменных ; единица соответствует переменной при свободном члене ; – вектор-столбец размерности параметров уравнения регрессии; – вектор-столбец размерности отклонений выборочных (реальных) значений зависимой переменной от значений , получаемых по уравнению регрессии . (10) Функция в матричной форме представима как произведение вектор-строки на вектор-столбец . Вектор-столбец может быть в свою очередь представлен в следующем виде: . (11) Отсюда:
Здесь – векторы и матрицы, транспонированные к соответственно. При выводе формулы использовались следующие известные соотношения линейной алгебры:
Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее частных производных по всем параметрам . Вектор-столбец частных производных в матричном виде выглядит следующим образом: . (12) Рассмотрим более подробно нахождение . Очевидно, что . от не зависит, следовательно, . Обозначим вектор-столбец размерности через . Тогда , где – соответствующий элемент вектора . Поэтому . Обозначим матрицу размерности через . Тогда . Следовательно, частная производная . В результате имеем . Следовательно, формула (12) справедлива. Приравняв к нулю, получаем: