Вариант 21
1.Найти неопределенный интеграл:
а)
б).
Интегрируем по частях:
Интегрируем второй интеграл по частях:
2. Вычислить определенный интеграл:
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница ординат параболы и прямой, а основание dx.
Найдем точки пересечения параболы и прямой
4. Вычислить несобственный интеграл:
5. Исследовать сходимость несобственного интеграла:
Так как функция
является бесконечно малой порядка по сравнению с при , то по частному признаку сравнения интеграл сходится.
6. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.
Разделяем переменные
7. Решить линейное дифференциальное уравнение.
Характеристическое уравнение однородного уравнения:
Имеет корни , , поэтому общее решение однородного уравнения:
Так как 0 не корень характеристического уравнения будем искать частное решение в виде его правой части
Права часть уравнения имеет вид
Подставив найденные выражение в уравнение, получим
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части тождества, получим
Таким образом общее решение данного неоднородного уравнения
8. Исследовать сходимость ряда
По признаку Даламбера:
Значит данный ряд сходящийся.
9. Найти промежуток сходимости степенного ряда:
Применим признак Даламбера
Таким образом интервал сходимости ряда
Исследуем поведение ряда на концах интервала
При , имеем ряд
Первое условие признака Лейбница выполняется
С другой стороны , второе условие признака Лейбница выполняеся, значить знакопеременный ряд сходится и так как ряд составленный из абсолютный величин гармонический .то ряд сходится условно
При , имеем ряд , который тоже сходится условно. (Случай как и при ).
Таким образом интервал сходимости ряда