СодержаниеВариант 5
Контрольная работа №3
Задача 1. Элементарными преобразованиями матрицы решить систему уравнений.
Решение
Сведем матрицу к ступенчатому или треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Запишем расширенную матрицу системы матрицу В (матрица А – основная матрица система).
Поменяем местами первую и вторую строки.
Первую строку помножим на (-5) и прибавим ко второй. Первую строку помножим на (-4) и прибавим к третьей. Третью строку матрицы поделим на (-5) и поменяем местами со второй.
Вторую строку матрицы умножим на 11 и прибавим к третьей.
Получили треугольную матрицу. и равен количеству неизвестных. Следовательно, система совместна, и имеет единственное решение.
, ,
Ответ:
Задача 1. По координатам вершин пирамиды . Найти:
1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды ; 6) уравнение плоскости .
.
Решение:
1) Длина отрезка, проходящего через точки с координатами , вычисляется по формуле:
Поставим в формулу координаты точек и .
Получим .
2) Угол ? между векторами находится по формуле:
=
Найдем координаты векторов и .
; = .
Тогда . .
3) Найдем угол между ребром и гранью ;
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
,
где – нормальный вектор плоскости.
Так как и , то вектор можно найти как векторное произведение векторов и .
.
= = .
Нормальный вектор плоскости равен (4, 4, 2).
Тогда = = = = .
4) Найдем площадь грани по формуле – векторное произведение соответствующих векторов.
= .
Тогда = .
= .
5) Объем пирамиды вычислим по формуле
= ,
где – смешанное произведение векторов , , .
Вычислим . = = 12.
Значит, = .
6) Уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярной вектору имеет вид: .
Нормальный вектор плоскости имеет координаты (4, 4, 2.
, откуда – уравнение плоскости .
Задание 3. Дано общее уравнение прямой . Написать различные типы уравнений этой прямой.
Решение.
– общее уравнение прямой.
, , – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Найдем две точки, принадлежащие данной прямой:
(0, –13). (5, –1).
, , – уравнение прямой проходящей через две точки.
– канонические уравнения прямой.
– параметрические уравнения прямой.
Задача 4.
Решение.
. При подстановке вместо значение 0 получим неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности помножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное числителю. Далей сведем полученный предел к первому замечательному пределу.
= = =
= = = =
= =
Задача 5. Доказать тождество и проверить его с помощью диаграмм Эйлера- Вена.
Решение.
Пусть .
Докажем равенство методом встречных включений.
1) докажем .
Пусть произвольный элемент . Тогда по определению разности множеств имеем . Отсюда следует, , значит , т.е .
2) Пусть произвольный элемент . Тогда по определению разности множеств имеем . Отсюда следует, , значит , т.е .
Задача 6. Элементы математической логики.
1. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить используя 10 цифр и алфавит из 30 букв.
Решение.
Количество способов выбора 3 цифр из 10 найдем, используя сочетания
Количество способов выбора 3 букв из 30 найдем, используя сочетания
Таким образом, общее количество номеров
2. С помощью таблиц истинности проверить являются ли эквивалентными формулы.
Решение.
Поскольку в каждую из формул входят по две переменные, то количество строк таблицы истинности будет
0 0 1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 0 0
Формулы не являются эквивалентными, т.к. на соответствующих наборах переменных, они принимают разные значения.
Замечание. Вместо 0 можно использовать Л «ложь», 1 – И «истина».
Задача 7.
1. Найти производную функции .
Решение.
Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию: .
Применим свойство логарифмов: . Тогда .
Дифференцируем обе части равенства по :
;
;
;
.
2. Найти формулу для производной функции .
Решение.
Пусть , тогда .
Используя формулу нахождения производной обратной функции.
.
3. Найти приближенное значение числа , используя разложения в ряд.
Решение.
Разложение в ряд функции имеет вид:
При имеем
, точность разложения
Задача 7.
1. Найти асимптоты и построить график функции.
Решение.
Область определения функции .
Функция неопределенна в точке . Следовательно, эта точка является точкой разрыва функции. В этой точке функция имеет вертикальную асимптоту.
Найдем односторонние пределы в точке.
= ; = ;
Найдем наклонные асимптоты к графику функции.
– наклонная асимптота.
= = = = 0;
= = = = .
Таким образом, наклонная асимптота.
2. Исследовать функцию и построить ее график
Решение:
1) Найдем область определения. .
2) Функция неопределенна в точках и . Следовательно, эти точки являются точками разрыва функции. Определим их тип. Найдем односторонние пределы в заданных точках.
= = – ; = = + ;
= = – ; = = + ;
– точки разрыва второго рода. В этих точках функция имеет вертикальные асимптоты.
3) Исследуем функцию на четность или нечетность. . Функция является нечетной. Значит, график функции симметричен относительно точки (0; 0).
4) Найдем точки пересечения функции с осями координат. Ось Ох ( ). . Ось Оу ( ) . Точки (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
5) Найдем асимптоты к графику функции.
– наклонная асимптота.
= = = = 0;
= = = = = 0.
Таким образом наклонная асимптота к графику функции.
6) Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
Найдем производную .
= = = =
= .
Вычислим = 0; = 0; Производная функции равна 0 в точках и не существует в точках и . Все эти точки разбивают Область определения на промежутки. Исследуем знак производной на каждом из промежутков.
Составим таблицу.
–1
0
1
+ + – не сущ. 0 – не сущ. – +
возрастает убывает не сущ 0 убывает не сущ убывает возрастает
– точка максимума функции.
– точка минимума функции..
7) Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Найдем .
= = =
= = =
= = .
Найдем критические точки второго рода.
Вторая производная функции равна 0 в точке и не существует в точках и . Все эти точки разбивают Область определения на промежутки. Исследуем знак производной на каждом из промежутков.
Составим таблицу.
–1
0
1
– не сущ. + 0 – не сущ. +
выпукла не сущ вогнута 0 выпукла не сущ вогнута
– точка перегиба.
8) Построим график функции.
Задача 9. Найти неопределенный интеграл способом подстановки.
Решение.
= = = = = =
=
Задача 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Решение.
. Построим указанные линии.
Площадь фигуры вычислим по формуле .
,
Тогда = = = кв.ед.
Ответ: кв. ед.
Задача 11. Решить дифференциальное уравнение.
Решение.
–е дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
,
Далее имеем:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
,
Получили общий интеграл:
Задача 12. Определить сходимость ряда.
1.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом . При
Так как ряд – расходиться, то согласно, можерантному признаку сравнения ряд также расходиться.
2.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом . При
Так как ряд – расходиться, то согласно, можерантному признаку сравнения ряд также расходиться.
Задача 13. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
Решение.
Пусть событие ( ) состоит в том, что в i-ый стрелок попадет в мишень.
По условию вероятность данных событий равна:
,
Тогда событие ( ) состоит в том, что в i-ый стрелок не попадет в мишень.
,
Событие , состоит в том, что при одном залпе в мишень попадет только один выстрел.
;
Так как события , , – независимые, а события , , – несовместные, то, используя теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий , получим:
=0,38
Ответ: 0,38.
Задача 14. Свойства дисперсии.
Свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания.
Во всех свойствах ниже предполагается существование вторых моментов случайных величин.
D1. Дисперсия может быть вычислена по формуле: .
Доказательство. Положим для удобства . Тогда
D2. При умножении случайной величины на постоянную дисперсия увеличивается в раз: .
D3.
— Дисперсия всегда неотрицательна: .
— Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если , то п. н., и наоборот.
Доказательство. Дисперсия есть математическое ожидание почти наверное неотрицательной случайной величины , и неотрицательность дисперсии следует из свойства (E5).
По свойству (E6), если , то п.н., т.е. п.н. И наоборот: если п. н., то .
D4. Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: .
D5. Если и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: .
Доказательство. Действительно,
так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Следствие. Если и независимы, то дисперсия их разности равна сумме их дисперсий:
Доказательство. Из свойств (D5) и (D2) получим:
Следствие. Для произвольных случайных величин и с конечными вторыми моментами имеет место равенство:
D6. Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины от точек вещественной прямой есть среднеквадратическое отклонение от своего математического ожидания: .
Доказательство. Сравним величину с дисперсией:
и последнее неравенство превращается в равенство лишь при .
Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию вариант объема .
5 8 10 12,5 15,5 17 20 22 23,5 25
1 9 6 6 4 6 8 5 4 1
Решение.
Определим выборочную среднюю: воспользуемся формулой.
=
= .
Определим выборочную дисперсию
=
Задача 15. Функция Лапласа. Центральная предельная теорема Ляпунова
Функция Лапласа
Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
Обозначим
Тогда
Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция
которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
Ниже показан график функции Лапласа.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1) Ф(0) = 0;
2) Ф(-х) = - Ф(х);
3) Ф(?) = 1.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
Ниже показан график нормированной функции Лапласа.
Центральная предельная теорема
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, , интересна тем, что она является частным случаем общей и универсальной центральной предельной теоремы. Основополагающий вклад в разработку этой тематики внесли выдающиеся отечественные математики: П.Л. Чебышев, А.А. Марков и А.М. Ляпунов.
Центральная Предельная Теорема 1 Пусть -- последовательность независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией. Обозначим и . Тогда
где -- функция распределения стандартного нормального закона.
Замечание Обозначим . Тогда , . Следовательно, утверждение ЦПТ может быть записано в виде
Как уже отмечалось выше, интегральную теорему Муавра-Лапласа для схемы Бернулли можно считать следствием ЦПТ.
Замечание Существуют обобщения ЦПТ на случай независимых разнораспределенных слагаемых. При этом, на отдельные слагаемые накладываются условия, обеспечивающие их ''пренебрежимо малый'' вклад в сумму с ростом . Наиболее известными условиями такого рода являются условия Ляпунова и Линдеберга.
ЦПТ имеет огромное значение для применений теории вероятностей в естествознании и технике. Ее действие проявляется там, где наблюдаемый процесс подвержен влиянию большого числа независимых случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение процесса. Наблюдатель, следящий за состоянием процесса в целом, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Эта схема поясняет также исключительное место, которое нормальное распределение занимает среди другий вероятностных распределений.
ЦПТ дает возможность аппроксимировать распределение сумм независимых с.в. нормальным распределением, чем часто пользуются на практике. В связи с этим, очень важным является вопрос о том, насколько быстро допредельное выражение в ЦПТ приближается к . Приведем формулировку теоремы Бэрри-Эссеена о скорости сходимости в ЦПТ. Предположим, что выполнены условия ЦПТ для независимых одинаково распределенных с.в., и, кроме того, существует . Тогда справедлива оценка
где -- некоторое число между и , не зависящее от распределения .
Центральная предельная теорема Ляпунова
Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.ВведениеЛитература
|
|
