СодержаниеНациональный Институт
имени
Екатерины Великой
Тема 8. Приложения производной
Упражнения
Найти уравнения касательной и нормали к каждой из следующих кривых в указанной точке:
1. К кривой в точке (—1; 2).
Касательная к графику находится по формуле:
Нормаль к графику находится по формуле:
Найдем производную функции:
Таким образом уравнение касательной к окружности в точке (-1; 2)
Таким образом уравнение нормали к окружности в точке (-1;2).
2. К кривой в точке (1; 4).
Касательная к графику находится по формуле:
Нормаль к графику находится по формуле:
Найдем производную функции:
Таким образом уравнение касательной к кривой в точке (1; 4)
Таким образом уравнение нормали к кривой в точке (1; 4).
3. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением в точке с абсциссой х= –1.
Найдем производную функции:
Таким образом уравнение касательной к кривой в точке
Таким образом уравнение нормали к кривой в точке .
4. Найти предел отношения при х >0.
5. Найти
При при поэтому
При при поэтому
При при поэтому
6. Найти предел отношения при х >0.
Исследовать на возрастание, убывание и на экстремумы следующие функции:
7. .
Найдем критические точки
при (критическая точка), других критических точек нет, так как производная всюду существует.
Исследуем критическую точку по знаку слева и справа от нее
x (-?,0) 0 (0,+?)
y
min
- +
8.
Область определения функции
Найдем критические точки
при (критическая точка), других критических точек нет.
Исследуем критическую точку по знаку слева и справа от нее в области определения функции.
x (0, 0,1) 0,1 (0.1,+?)
y
min
- +
9. у=х3-9х2+15х-3.
Область определения функции, вся числовая ось
Найдем критические точки
при (критические точки), других критических точек нет.
Исследуем критические точки по знаку слева и справа от них.
x (-?,1) 1 (1,5) 5 (5,+?)
y
mах
min
+ - +
10. Требуется изготовить коническую воронку с образующей l=18 см. При какой высоте воронка будет иметь наибольшую вместимость?
Пусть высота конуса , тогда по теореме Пифагора радиус основания воронки
. Следовательно,
Исследуем найденную критическую точку по знаку второй производной в этой точке:
, откуда следует, что критическая точка есть точка максимума.
11. При каком соотношении между высотой и радиусом основания потребуется наименьшее количество материи для изготовления конического шатра данной вместимости?
Пусть объем шатра V.
Пусть радиус конуса , тогда по теореме Пифагора образующая шатра .
Боковая поверхность шатра
. Следовательно,
12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Установить размеры катетов, при которых треугольник будет иметь наибольшую площадь.
Пусть один из катетов прямоугольного треугольника , тогда по теореме Пифагора второй катет
Площадь прямоугольного треугольника
Определить координаты точек перегиба графиков следующих функций:
13.
Найдем
при (но это точки разрыва)
Исследуем эти точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-0,5) -0,5 (-0,5, 2) 2 (2,+?)
y
Т.п
Т.п
+ - +
Выполнить исследование и построить графики следующих функций:
14.
1. Область определения данной функции, как любого многочлена есть вся числовая ось
2. Функция не имеет точек разрыва.
3. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
4. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как функция определена на всей числовой оси.
б)
не вертикальных асимптот график функции не имеет.
5.
в точках , которые есть критическими
Исследуем полученные точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-2) -2 (-2,2) 2 (2, ?)
y
min
max
- + -
6. Найдем
=0 при х=0, эта точка может бать точкой перегиба
Исследуем эту точку по знаку слева и справа от нее
x (-?,2) 2 (2, ?)
y
+ Точка. п -
7. Используя полученные результаты, строим график функции.
15. у=3х2/(х2+1).
1. Область определения данной функции - есть вся числовая ось
2. Функция не имеет точек разрыва.
3. Функция четная .
4. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как функция непрерывна.
б)
не вертикальная асимптота.
5.
в точке , которая есть критической
Исследуем полученную точку по знаку слева и справа от нее
x (-?,0) 0 (0,+?)
y
min
- +
6. Найдем
Исследуем эти точки по знаку слева и справа от них
x (-?, )
( , ?)
y
Т.п.
Т.п.
- + -
Используя полученные результаты, строим график функции.
16. у=(х-1)(х+3)2.
1. Область определения данной функции, как любого многочлена есть вся числовая ось
2. Функция не имеет точек разрыва.
3. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
4. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, так как функция определена на всей числовой оси.
б)
не вертикальных асимптот график функции не имеет.
5.
в точках , которые есть критическими
Исследуем полученные точки по знаку слева и справа от них
x (-?,-3) -3 (-3, )
( , ?)
y
max
min
+ - +
6. Найдем
=0 при , эта точка может быть точкой перегиба
Исследуем эту точку по знаку слева и справа от нее
x (-?, )
( , ?)
y
- Точка. п +
7. Используя полученные результаты, строим график функции.
Тема 9. Неопределенный интеграл
Упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Интегрируем по частях по формуле
9.
Интегрируем по частях:
10.
Интегрируем по частях
Интегрируем второй раз по частях
11.
Применим подстановку:
12.
13.
14.
Указание. Предварительно умножить числитель и знаменатель на е2х.
15.
16.
17.
18.
Разложим подынтегральную рациональную дробь, на сумму элементарных дробей, записав схему разложения
Избавимся от знаменателей, умножая левую и правую части равенства на
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, в левой и правой части тождества получим систему уравнений
Подставляя в схему разложения, получим:
Таким образом
Тема 10. Определенный интеграл
Упражнения
1.
2.
3.
Интегрируем по частях:
4.
Сделаем замену
5. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями у=х2 и у=8—х2.
Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница ординат парабол, а основание dx.
Найдем точки пересечения парабол
6. Вычислить площадь фигуры, заключенной между гиперболой у =(3х+4)/(х-2), прямыми х=3 и х=5 и осью Ох.
7. Вычислить площадь фигуры, отсекаемой биссектрисой I координатного угла на параболе х2=Зу.
Найдем площадь фигуры, определив ее дифференциал ds, как площадь прямоугольника, у которого высота – разница ординат параболы и прямой , а основание dx.
Найдем точки пересечения параболы и прямой
8. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох фигуры, заключенной между кривой у=2х—х2 и осью Ох.
Объем тела вращения, вокруг оси ОХ определяется формулой
Поэтому,
9. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох фигуры, заключенной между параболой у=4—х2 и прямой 2х+у—4=0.
Объем тела вращения, вокруг оси ОХ определяется формулой
Поэтому,
Вычислить по формуле трапеций:
10.
при n=6
Вычислим данный интеграл по формуле трапеций
i x y y
0 1 0,5
1 2 0,434588
2 3 0,403694
3 4 0,384311
4 5 0,370512
5 6 0,359952
6 7 0,351482
? 0,851482 1,953057
Отв. 2,379
11.
при n=5
Вычислим данный интеграл по формуле трапеций
i x y y
0 1 0,3333
1 2 0,2500
2 3 0,1690
3 4 0,1179
4 5 0,0867
5 6 0,0668
? 0,4001 0,6236
Отв. 0,8236.
12. Вычислить по методу трапеций , принимая n=8, и сравнить с результатом точного интегрирования.
Вычислим данный интеграл по формуле трапеций
i x y y
0 1 1,0000
1 1,375 0,7273
2 1,75 0,5714
3 2,125 0,4706
4 2,5 0,4000
5 2,875 0,3478
6 3,25 0,3077
7 3,625 0,2759
8 4 0,2500
? 1,2500 3,1007
Отв. 1,3862.
Тема 11. Числовые ряды
Тема 12. Степенные ряды
Упражнения к темам 11, 12.
1.
Общий член ряда:
Исследуем данный ряд по интегральному признаку
Несобственный интеграл сходится, значит, сходится и ряд.
Отв. Ряд сходится.
2.
Общий член ряда:
Используем признак Даламбера
Ряд сходится
Отв. Ряд сходится.
3.
Используем признак Даламбера
Отв. Ряд расходится
4.
Общий член ряда:
Используем признак Даламбера
Ряд сходится
Отв. Ряд сходится.
5.
Применим признак Даламбера
Отв. R=1
6.
Применим признак Даламбера
Отв. R=5
7.
Применим признак Даламбера
Отв. R=1
Тема 13. Элементы линейной алгебры
Упражнения
1. Вычислить определители второго порядка:
А)
б)
в)
Отв. а) 71, 6) 0, в) 37.
2. Вычислить миноры М11, М23 и алгебраическое дополнение А12 для определителя
Отв. М11=— 23, М23= -7 , А12=—5.
3. Решить методом Гаусса систему уравнений
х1+3х2-х3=19,
2х1+7х2+4х3=30
3х1-х2+6х3=-1.
Отв. х1=5, х2=4, х3=-2.
4. Проверить результат предыдущего решения с помощью определителей.
Найдем определитель матрицы системы
Определитель матрицы не равен нулю, значит, система имеет решение.
Найдем определители ?1, ?2, ?3
По формулах Крамера
5. Указать все возможные способы разбиения неизвестных на основные и свободные в следующих системах уравнений:
А)
Найдем ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы
Ранги матрицы равны 2
Ранг матрицы равен двум, число неизвестных равно три, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы состоит из одного решения. Следовательно, возможны три способа разбиения неизвестных на основные и свободные
Б)
Найдем ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы
Ранги матрицы равны 3
Ранг матрицы равен трем, число неизвестных равно четыре, поэтому возможны два способа разбиения неизвестных на основные и свободные
Отв. а) возможны три способа разбиения;
б) возможны два способа разбиения.
6. Найти базисные решения системы уравнений
Найдем ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы
Ранги матрицы равны 2
Ранг матрицы равен двум, число неизвестных равно три, поэтому возможны три способа разбиения неизвестных на основные и свободные
Тема 14. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
Упражнения
1. Какой угол составляют между собой два вектора а1=i+j-4k и а2=i-2j+2k?
Угол найдем из определения скалярного произведения векторов
2. Найти косинус угла между векторами i+2j+3k и 2i—j+4k.
Угол найдем из определения скалярного произведения векторов
3. Найти площадь параллелограмма, заданного векторами r1=i—3j+k и r2=2i-j+3k.
С определения векторного произведения
Тогда,
Тому,
4. Проверить колинеарность векторов 2i—3j+5k и 4i—6j+10k.
Векторы коллинеарны если , то есть
Таким образом векторы колинеарны
5. Построить точки по координатам: A(4; 3; 5), B(1; 2; —1), C(4; 4; 4), D(-4; -4. -4).
6. Определить расстояние точки А (4; —3; 5) от начала координат и от осей координат.
Расстояние от точки А до начала координат найдем по формуле:
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 1; 1) и (0;1;-1) перпендикулярно плоскости х+у+z=0.
Вектор нормали к данной плоскости
Пусть вектор нормали искомой плоскости
Тогда из уравнения плоскости, заданной координатами точки и вектором нормали имеем:
и условия перпендикулярности векторов получим систему уравнений:
8. Указать геометрический смысл уравнений:
х2+z2=25 – круговой цилиндр
y2=2z
– параболический цилиндр
x2+2y=0
– параболический цилиндр
z+2x2=0
– параболический цилиндр
x2+3z2=12
– эллиптический цилиндр
3x2+y2+3z2=48
– эллипсоид вращения
9. Написать уравнение цилиндрической поверхности:
а) с образующей, параллельной оси Ох, и с направляющей в виде окружности с радиусом, равным 3, и с центром в точке (0; 2; 1).
Направляющая окружность имеет уравнение
Следовательно, уравнение цилиндрической поверхности
Отв. (у— 2)2 + (z—1)2=9;
б) с образующей, параллельной оси Ох, и с направляющей в виде параболы
с вершиной в начале координат и проходящей через точку (0; 3; —4).
Уравнение направляющей параболы
Подставив координаты точки, получим
Таким образом,
Отв. 9z+4y2=0.
в) с образующей, параллельной оси Оz, и с направляющей в виде ветви гиперболы с вершиной в точке (3; 3; 0).
Уравнение гиперболы имеет вид
Следовательно,
Отв. ху=9.
Тема 15. Функции нескольких независимых переменных
Упражнения
1. Найти первые частные производные по х и по у функций:
а) ;
б) ;
в) z=v(x2-y2).
;
Отв. а) dz/dx=2xy3; dz/dy=3x2y2;
б) dz/dx=yexy; dz/dy=xexy;
в) dz/dx=x/v(x2-y2); dz/dy=-y/(v(x2-z2).
2. , показать, что
Тема 16. Дифференциальные уравнения
Упражнения
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Разделяем переменные
Интегрируем левую и правую части уравнения.
Отв. (1+x)3/(1+y3)2=C.
2. Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение .
Сделаем замену
Отв. х2+y2=Сх.
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения dy/dx=(x-y)y/x2.
Сделаем замену
Отв. lnх—x/y=C.
4. Решить линейное дифференциальное уравнение у"—6у'+8у=0.
Характеристическое уравнение:
Имеет корни , поэтому
Отв. у = С1e2x+C2e4x
5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Находим общий интеграл однородного уравнения :
Характеристическое уравнение:
Имеет корни , поэтому
Для правой части уравнения
Частное решение будем искать в виде
Находим производные:
Подставляя в данное уравнение, получим равенство
Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части полученного тождества
Следовательно,
Отв. у=С1 e-x+С2 xе-x+х2— 4х+6.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Находим общий интеграл однородного уравнения :
Характеристическое уравнение:
Имеет корни , поэтому
Для правой части уравнения
Частное решение будем искать в виде
Находим производные:
Подставляя в данное уравнение, получим равенство
Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части полученного тождества
Следовательно,
Отв. у= (х+3/2) ех+С1e2x+С2e3x.ВведениеЛитература"'
|
|
