СодержаниеМосковский институт управления
МАТЕМАТИКА
Методическое пособие
Для заочного выполнения
Контрольных заданий.
I часть.
Исполнитель:
Кандидат технических наук Дубчак В.С.
Доцент кафедры гуманитарных
и естественных наук
Москва 2005
Данное «Методическое пособие для заочного выполнения Контрольных заданий» составлено в соответствии с «Программой» по предмету «Математика» для экономических специальностей и «Календарным планом», принятым на заседании кафедры 28.08.2004г.
Содержание заданий:
Задание №1.
1. Матрицы. Определители матриц.
2. Системы линейных алгебраических уравнений и методы их составления и решения.
3. Уравнения прямой.
4. Пределы функций. Правило Лопиталя. Асимптоты функций.
5. Дифференцирование простых и сложных функций.
Задание №2.
1. Дифференцирование взаимосвязанных функций двух переменных.
2. Частные производные. Локальный, общий, условный экстремум.
3. Приложения производных для исследования функций одного и двух переменных на оптимум.
Задание №3.
1. Неопределенный интеграл.
2. Определённый интеграл и его приложение.
3. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
4. Приложение к задачам экономики.
5. Метод наименьших квадратов и применение его для аналитической интерпретации статистических данных.
Задание №4.
1. Эластичность функций
2. Исследование операций
3. Линейное программирование. Графический метод.
4. Симплекс-метод для многих параметров
5. Транспортная задача в экономике
Задания выдаются преподавателем из специального дополнения к пособию,
которое содержит исходные данные для соответствующих вариантов. В пособии приведены типовые примеры решений задач.
Цель преподавания математического минимума в экономическом ВУЗе – познакомить студентов с математическим аппаратом, необходимым для анализа процессов, имеющих статический (балансный), динамический (дифференцированный во времени) и стохастический (случайный) характер. При решении практических задач на базе теоретических знаний синтезируются оптимальные и объективные результаты. Умение математического моделирования условия задачи и определение наилучшего результата из множества позволяет с применением ЭВМ готовить проекты и решения на современном уровне и без больших материальных затрат.
Специфика заочной формы обучения состоит в самостоятельном изучении литературы по математическим методам решения экономических задач. Пособие, максимально охватывая обязательные вопросы программы, позволяет помочь студентам сократить время на поиски соответствующего материала, который здесь сконцентрирован из различных разрозненных источников. Кроме того, по каждой задаче пособие содержит образец решения.
Правила выполнения контрольных заданий:
1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждого задания.
2. Каждая задача должна иметь дробный номер. Например №3/5 – третье задание; пятая задача.
3. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие
4. Решение задачи следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи и графики.
5. Там, где возможно, необходимо проверять полученные результаты.
6. Работа выполняется чернилами (пастой) любого цвета, кроме красного, оставляя поля шириной 4см для замечаний рецензента.
7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные недочеты, ошибки и выполнить рекомендации
8. Каждая работа оценивается отдельно. Допуск к экзамену возможен только после выполнения (оценки) всех четырёх работ со своим сочетанием вариантов задач.
9. Титульный лист работы должен содержать необходимые визитные данные:
группа, фамилия, имя и отчество, учетный номер (шифр) студента, номер контрольной работы, название дисциплины, дату сдачи (отсылки) работы, адрес студента. В конце работы желательно указать список использованной литературы.
Задание №1
Задача № 1/1.
Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в следующей таблице:
Виды
сырья Нормы расхода сырья на единицу продукции Запасы сырья
1 2 3
1 3 4 2 1850
2 1 2 1 850
3 5 1 3 1600
Определить объем выпуска продукции каждого вида при условии полного использования сырья.
Примечание: составленную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решить тремя методами и провести проверку результатов.
Решение: Обозначим искомые объемы соответственно X1, Х2, Х3.
Так как в данной задаче исходные данные позволяют составить тривиальную систему (количество неизвестных равно количеству уравнений), то результат получаем окончательный и в единственном виде. СЛАУ представляет собой равенства запасов сырья соответствующим суммам произведений норм расхода на соответствующие объемы продукции:
Такая система содержит т.н. балансные уравнения.
Решение методом Крамера (определители матриц)
Проверим подстановкой во второе уравнение как наиболее простое в цифрах:
Получено тождество, что свидетельствует о верном решении.
Решение методом Гаусса (последовательное исключение неизвестных).
Расширенная матрица
Умножим вторую строку сначала на и прибавим к первой, затем на и прибавим к третьей. Так формируются новые строки – первая и третья с нулевыми коэффициентами при Х1. Тем самым понижается порядок матрицы от n=3 до n=2, где остались Х2 и Х3 .
- матрица I шага.
Умножим первую строку полученной матрицы на (-2) и прибавим ее к третьей строке, обнуляя коэффициент при Х3 .
- матрица II шага.
Последний вид расширенной матрицы является конечным этапом прямого хода, на основании которого составим систему уравнений для обратного хода
(1)
(2)
(3)
Из (3) >
Из (2) >
Из (1) >
Получаем тот же результат, что и I методом.
Решение методом обратной матрицы
Главный определитель системы
, значит обратная матрица существует.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы через соответствующие миноры:
Из алгебраических дополнений составим матрицу и транспонируем ее .
= =
Обратная матрица
=
Матрицу – столбец неизвестных Х получим как произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов
Следовательно
т.е. результат тот же, что при решении предыдущими методами.
Задача № ?.
Найти пределы функций
а)
Подстановка предельного значения дает
б)
Имеет место неопределенность I рода , потому применим правило Лопиталя
в) Найти уравнение асимптот функции
Вертикальная асимптота (Y= ) при Х-1=0, т.е. Х=1 – уравнение вертикальной ас.
Наклонная асимптота y=kx+b
т.о. уравнение наклонной асимптоты Y=-2X-2.
Задача №1/3
а) Найти производную функции, исходя из определения производной
б) Найти производную сложной функции, используя правила вычисления производных.
Y=
Задача№1/4
Треугольник задан вершинами А(-3;4), В(-4;-3) и С(8;1). Составить уравнение медианы АD, где т. D – середина отрезка ВС.
Найдем координаты т. D (см. рис)
Y
A 4
3
2
C
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Х
-1 D
-2
B
-3
-4
Медиана AD проходит через две точки A(-3;4) и D (2;-1). Таким образом уравнение прямой, проходящей через две точки:
Здесь, если y=kx+b, то k= и b=1.
Это действительно видно, что т.е.
Отрезок, отсекаемый на оси Y, т.е. b=1.
Задание №2.
Дифференциальное исчисление.
Задача №2/1.
Рассчитать размеры открытого квадратного бассейна – емкости V
минимальной стоимости. Стоимость единицы площади облицовки дна в восемь раз дешевле стоимости единицы площади стенок. Сст.1
Ответ выразить в цене Сст.1
Решение.
h=ax;
h=ax
x
Цена для стен , для дна , стоимость стен = 1 , стоимость дна
По условию .
Общие затраты
(min!)
Задача №2/2.
Производится два вида товаров, цены на которые соответственно равны и
Издержки с учетом корреляционной взаимной связи количества первого вида Х и второго вида Y выражаются функцией Определить при каких количествах X и Y продаж этих товаров прибыль будет максимальной.
Решение.
Прибыль П(X;Y) Условия локального экстремума (первые частные производные равны нулю) приводят к системе линейных уравнений
Проверка:
Таким образом
X=5;
Y=7
Находим частные производные второго порядка
>0
Значит, экстремум существует (а не «седло») и это максимум, т.к. -60
Экстремум существует и это минимум, т.к. 10>0.
Из условия экстремума (1):
Y=50; X=50
Из условия экстремума (2):
Значит наименьшим из двух минимумов является 11111,1
Задание №3.
Интегральное исчисление.
Задача №3/1
а) Замена переменной.
[Примечание: ]
Проверка:
б) Интегрирование дробей, алгебраические преобразования.
[[Примечание:
1) Представим числитель в виде, содержащем (2Х-4), т.е.
Х+3=m(2Х-4)+n и определим значения m и n
Х+3=2mХ-4m+n; 2m=1;
т.о.
2) Подкоренное выражение тоже представим с содержанием фрагмента Х-2
Значит
Расчленим данный интеграл на два интеграла
и определим отдельно А и В
А)
[Примечание:
dt=2(x-2)dt = (2x-4)dx
=
B)
[ ]
Итого:
В) интегрирование по частям ?udv=uv-?vdu
?(x-5)cos3x•dx=1/3(x-5)sinx-?1/3sinx•dx=
[ Примечание:
U=x-5; du=dx; dv=cos3x•dx; v=?cos3x•dx=1/3sinx ]=
=1/3• [(x-5) •sinx+cosx]+C
Задача №3/2
Определенный интеграл.
Найти объем продукции, выпускаемый предприятием за один 10-часовой рабочий день, если скорость выпуска v(t) (производительность) задана следующей формулой:
-t2+6t+10
V(t) = -6t+50
Задача №3/3
Дифференциальные уравнения.
А) Найти динамику цены P(t) на товар по заданным из статистики соотношениям, описывающим прогноз спроса D(t) и предложения S(t) при начальных условиях P(0)=3 P’(0)=1,5
D(t)=3p”+3p’+8p-5; S(t)=2p”-1p’+5p+7;
Решение:
Динамика установления равновесия цены определяется равенством D(t)=S(t), т.е. 3p”+3p’+8p-5=2p”-1p’+5p+7;
p”+4p’+3p=12 – линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
p”+4p’+3p=0, т.е. P0P
Характеристическое уравнение
k2+4k+3=0;
2) Частное решение неоднородного уравнения
P4P =A=const; p’=p”=0;
P”+4p’+3p=12; 0+0+3A=12; A=12/3=4
3)Полное решение P= P0P+P4P= +4 получим после определения значений произвольных постоянных С1 и С2 интегрирования, используя начальные условия.
При t = 0
=
= ;
;
б) Решить: линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Решение.
1) ; ;
; ;
2) ; ; ;
; ; ;
Задача № ?.
Метод наименьших квадратов для обработки статистических данных.
В результате исследования в автопарке зависимости между срокам эксплуатации автомобилей и расходами на их ремонт получены следующие статистические данные, сведённые в таблицу.
Т(лет) 1 2 3 4 5
S(ден.ед.) 100 120 145 160 185
Найти:
1) аналитическую зависимость стоимости ремонта S от срока эксплуатации Т.
2) Предполагаемую величину затрат на ремонт S (7) к (7)-му году эксплуатации.
Решение.
n T S T? T S
1 1 100 1 100
2 2 120 4 240
3 3 145 9 435
4 4 160 16 640
5 5 185 25 925
? 15 710 55 2340
Примечание: Нанесенные статданные
В системе координат S-T(см.рис.)позволяют функциональную зависимость представить по линейному (не квадратичному)закону, из расчета чего и cоставлена расчетная таблица:
S=aT+b,где коэффициенты а и b определим из системы уравнений
55a+15b=2340
15a+5b=710
=
=
=
S=21T+79
Если известен уровень дохода, то можно, подставив эту цифру вместо S, определить тот момент времени T, после которого эксплуатация автопарка становится убыточной, т.е. затраты на ремонт выше доходов.
Задание № 4.
Оптимальное управление.
Задача №4/1 .
Исследование операций. Линейное программирование.
Найти максимум и минимум линейного функционала Y=4X1+6X2 при условиях
4x1+x2 ? 4 4x1+x2 = 4 (1)
x1 -4x2 ? 0 уравнения x1 -4x2 = 0 (2)
2x1 + 3x2? 30 границ -2x1 + 3x2= 30 (3)
x1 ? 0 множества x1= 0 (4)
0 ?x2? 7 x2 = 0; x2 = 7
Исходное положение функционала
Y=0
4x1 + 6x2 = 0
3x2 = 2x1 ; x2 = 2/3 x1
При x1 = 3 x2 = 2
(1)x1= 0; x2= 4 (3)x1 =0; x2 =10
x1 =1; x2 =0 x1 =-15; x2 =0
x1 =0; x2 =0 x2 =10+2/3x1
гиперплоскость гиперплоскость сверху
снизу
(2) x2 = 1/4x1 (4)x1 =0;
x1 =8; x2 =2 гипреплоскость снизу
x1=4; x2 =1
гиперплоскость
сверху
Для поиска в множестве экстремальных значений необходимо исходный функционал Y=0 подвергнуть аффинному преобразованию, что в системе координат соответствует пропорциональному изменению координат по всем осям (примечание: так натуральная фигура превращается в её модель и наоборот). В нашем двумерном случае (x1 и x2) соответствует параллельному переносу линии Y=0 до крайней верхней точки С (это максимум и до крайних нижних точек линии ED (это минимум). Примечание: координаты любой точки линии ED равноценны, так как ED¦Z(0).
1) Вычислим Zmax, для чего:
а) определим координаты точки С, как пересечение прямых (1) и (2)
=
=
=
Проверка: 4•16/17+4/17=4
Zmax = 4*16/17+6•4/17 = 5
2)Вычислить Zmin, для чего:
а) определим координаты точки D, как пересечение прямых (2) и (3)
=
=
=
Проверка: -24-4*(-6)=0
Таким образом, оптимальный план задачи:
1) =5 при =(16/17;4/17)
2) =-132 при =[-24;-6]
Задача №4/2 Симплекс-метод
Торговое предприятие, располагающее материально-денежными ресурсами реализует три группы товаров. Плановые нормативы затрат ресурсов на единицу товарооборота ( ), прибыль от продажи товаров на единицу товарооборота по статданным ( ), а также объемы ограничений ресурсов ( ) сведены в таблицу.
Определить объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия в целом была бы максимальной (числа в задаче в условных единицах в соответствии с размерностями нормативных данных).
X1 X2 X3
№ п/п Виды материальных ресурсов Единицы измерения Норма затрат ресурсов на ед.т/о,тыс.руб. Объем ресурсов
(bi)
I гр.(ai1) II гр.(ai2) III гр.(ai3)
1 Рабочее время продавцов чел/час 2 1 3 600
2 Площадь торговых залов
1 2 1 500
3 Площадь складских помещений
6 4 2 900
Единичная прибыль (Cj) тыс. руб. 2 2 3
Запишем математическую модель задачи
Целевой функционал
нужно максимизировать.
1) Составление первого опорного плана.
Применим “размножение неизвестных”, т. е., чтобы из неравенств получить систему уравнений, дополним каждое из них неотрицательными вспомогательными неизвестными той же размерности, что и члены уравнений.
Такой вид называется каноническим.
Выразим дополнительные неизвестные через основные (базисные)
х4=600-(2х1+х2+3х3)
х5=500-(х1+2х2+х3)
х6=900-(6х1+4х2 +2х3)
В начальной (исходной) позиции целевой функционал запишем в виде
z =0-(2х1+2х2+3х3)
Соответственно ? симплексная таблица (?СТ) будет:
Дополнительные переменные При нулевых значениях х1,х2,х3 Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 ?
Х4 600 2 1 3 1 0 0 200
Х5 500 1 2 1 0 1 0 500
Х6 900 6 4 2 0 0 1 450
Z 0 -2 -2 -3? 0 0 0
1 CТ
2) Проверка плана на оптимальность. План будет оптимальный тогда, когда индексная строка ? „перестанет” содержать отрицательные коэффициенты. Сейчас план не оптимальный, т.к. коэффициенты < 0
3) Определение „направляющих” столбца и строки.
Наиболее „тяжёлым” является коэффициент (-3) как наибольший по абсолютной
величине. По этой причине Х3 как принадлежность «указующего» столбца далее перейдет в иной разряд и заменит одну из искомых новых переменных. А для определения, какую переменную она заменит делим свободные члены на соответствующие коэффициенты «указующего» столбца: и заносим в служебный столбец ? (см 1 СТ)
«Указующая» строка там, где ?min=200, что соответствует Х4.
Т.о. в новом опорном плане II шага (2 СТ) Х4 заменяем на Х3
4) Определение нового опорного плана 2 СТ Для формирования 2 СТ применяется метод Жордана-Гауса, который состоит в следующем:
Вместо строки Х4 записывается пересчитанная строка Х3 путем деления всех элементов строки Х4 таблицы 1 СТ на цифру в перекрестии Х4 и Х3, т.е. на 3:??
А в остальных клетках столбца Х2 «накапливаем» нули аналогично тому, как это делалось при решении СЛАУ методом Гаусса (см. таблицу 2 СТ).
2 СТ
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6
Х3 200 2/3 1/3 1 1/3 0 0
Х5 300 1/3 5/3 0 -1/3 1 0
Х6 500 14/3 10/3 0 -2/3 0 1
Z 600 0 1 0 1 0 0
Так, например, для получения О на пересечении строки Х5 со столбцом Х3 используем полученную 1 таблицы 2 СТ, для чего все элементы новой строки Х3 табл. 2 СТ множим на коэффициент пересечения строки Х5 и столбца Х3 таблицы 1 СТ, но с противоположным знаком (-1) и складываем с элементами строки Х5 табл. 1СТ, а результат заносим в строку Х5 таблицы 2СТ, а именно:
; ; ;
; 0(-1)+1=1;
Аналогично для строки Х6 будет множитель(-2)
; ; ;
; ; .
Аналогично для строки Z будет множитель (+3)
; ; ;
; ; ;
5. 2 СТ соответствует оптимально приемлемому плану, т.к. все коэффициенты в индексной строке Z больше нуля (положительные).
Оптимальный план:
Х=(0; 0; 200; 0; 300; 500) и Y(х)=600 тыс. рублей.
Следовательно вывод:
Для получения максимальной прибыли в размере 600 тыс. руб. предприятию необходимо продавать товары 3 группы на 200 тыс. руб., а 1 и 2 группы продавать не рентабельно. Кроме того, ресурсы ? вида (площадь торговых залов) недоиспользованы на 300 м. кв. (Х5=300), а ресурсы III вида (площадь складских помещений) недоиспользованы на 500 м. кв. (Х6=500). Рабочее время продавцов используется полностью.
Задача № 4/3.
Транспортного типа.
На трех складах оптовой базы имеется груз в количествах соответственно 40, 80, 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина, каждый из которых заявил соответственно на 70, 20, 60 и 60 единиц. Стоимость доставки единицы груза (тарифы) из каждого склада Аi во все магазины Вj представляется матрицей:
1 опорный план
9 10 22 8 7 100
12 6 15 12 8 35
10 11 8 5 9 100
7 9 6 4 5 130
80 40 80 90 90
Составить оптимальный план перевозок грузов с минимальными транспортными затратами.
Решение:
1) Проверяем условия разрешимости задачи
3
? ai = 100+35+100+130=365
I=1
4
? bj =80+40+80+90+90=380
j=1
Суммарная потребность в грузе превышает его запасы на 380-365=15 единиц. Для получения закрытой модели введем дополнительный (фиктивный) склад А5 с запасом груза равным a5=15 единиц с нулевым тарифом перевозок.
1. Формирование первого опорного плана (10П) методом минимальной стоимости.
10П (1 опорный план)
Vi Uj
V1 -16 V2-15 V3-O5 V4-12 V5 Запасы аi
Ai Bj B1 B2 B3 B4 B5
U1
U0 A1 9
45 10
5 22
0 8
0 7
50 100
U2
-24 A2 12
0 - 6
35 15
0 12
0 8
0 35
U3
-53 A3 10
20 11
0 8
- 80 5
0 9
0 100
U4
13 A4 7
0 9
0 6
0 4
90 - 5
40 130
U4
A5 0
15 0
0 0
0 0
0 0
0 (15)
Потребности BJ 80 40 80 90 90 380
Расклад груза по клеткам:
1) Cmin=C44=4 Потребность четвертого магазина лишь 90, поэтому сюда весь требуемый груз 90
Остальные клетки В4 обнуляем.
2) Следующая Cmin =C45=5 Сюда оставшиеся а4=40 (130-90=40) . Обнуляем А4.
3)Окончательно формируем столбец В5, т.е. в клетку 15 вносим дефицит В5=50 и в клетку 11 – 45 единиц и оставшиеся 5 в клетку 12.
4)Таким же образом заполняем оставшиеся клетки.
Для оценки рентабельности полученного опорного плана перевозок. 10П применим метод “потенциалов” занятых клеток: разность “потенциалов” должна быть меньше расценки, т.е. V - U C или в свободных V -U -C 0.Так как при балансе – всё “закольцовано“, поэтому всё равно откуда начать проверки и заполнения всех потенциалов. Принято начинать с” северо-восточного узла “, задавший исходной любой цифрой, например, нулём.
1) U =0. Остальные находим из условия баланса V -U =C .
2) В строке U заполнения столбец V , поэтому V =C +U =9+0=9
3) Зная V можно определить в этом столбце U и U .
-U =C - V =10-9=1; U =-1
-U =C - V =0-9=-9; U =9
4) Чтобы перейти к следующей строке (U ) воспользуемся промежуточно-пустым известным столбцом (V ). C =12.
Т.о. -U = C - V =12-9=3; U =-3
5) Теперь, зная U , определим в этой строке V .
V =C +U =6-3=3
6) Зная U =-1(см.п3) определим для занятой клетки 33 (С =8) значение V = С +U =8-1=7.
7) Зная U =0 определим для занятой клетки 15 (С =7) значение V = С + U =7+0=7.
8) Зная V =7 определим в этом столбце U .
-U = C - V =5-7=-2; U =2
9) Зная U =2 определим для занятой клетки 44 (С =4)
V = С +U =4+2=6. Определяем резервы в незанятых клетках
Баланс д.б. 0 (!)
10) Для клетки 13.
V -U -C =7-0-10= -3 V2 –U3-C32 =3+1-11=-7 V3 –U3-C33 =6+1-8=-1 V5 –U3-C35 =7+1-9=-2 V1 –U4-C41 =9-0-7= 2>0
20)Кл.42 > V2 –U4-C42 =3-0-9=-6 V2 –U5-C52 =3-9-0= -6 V3 –U5-C53 =6-9-0= -3 V4 –U5-C54 =4-9-0= -5 V5 –U5-C55 =7-9-0= -2 неизменно U2 = -3
6) Кл.43 > V3=C43+U4=6+2=8; V3=8 (было 6)
7) Кл.33 > - U3 = C33 – V3 =8– 8 = 0; U3= 0
8) Кл.44 > V4= C44+U4=4+2=6; V4=6
9) Кл. 45 > - U5 = C45 – V5 =5– 7= -2; U5= 2
Резервы свободных:
10)Кл.13 > V3 -U1-C13 =8-0-22= -14 V4 -U1-C14 =6-0-8= -2 V1 –U2-C21 =9+3-12=0
13)Кл.23 > V3 –U2-C23 =8+3-15= -4 V4 –U2-C24 =6+3-12=-3 V1 –U3-C31 =9+1-10=0
16) Кл.32 > V2 –U3-C32 =3+1-11=-7 V5 –U3-C35 =7+1-9=-2 V2 –U4-C42 =3-0-9=-6 V2 –U5-C52 =3-9-0= -6 V3 –U5-C53 =6-9-0= -3 V4 –U5-C54 =4-9-0= -5 V5 –U5-C55 =7-9-0= -21 (товар эластичного спроса) – понижение цены на 1% соответствует повышению спроса более, чем на 1% и наоборот. При Eд 20
Литература
1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Н.Ш. Кремера. М. 2002г.
2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании. М. 2001г.
3. В. П. Малыхин. Математика в экономике. М. 1999г.
4. А. Н. Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М. 1997г.
5. В.Н. Грицан, В. В. Рятина. Математика. Методические указания по выполнению контрольных работ. М. 2001
6. М.М. Ермилов, П.С. Казей, Б.И. Олейников, В.А. Сердюков Математика. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ. М. 2001
7. В.В. Смирнова. Математика. Типовые расчеты по «Линейному и динамическому программированию». М. 1998г.ВведениеЛитератураЛитература
1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Н.Ш. Кремера. М. 2002г.
2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании. М. 2001г.
3. В. П. Малыхин. Математика в экономике. М. 1999г.
4. А. Н. Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М. 1997г.
5. В.Н. Грицан, В. В. Рятина. Математика. Методические указания по выполнению контрольных работ. М. 2001
6. М.М. Ермилов, П.С. Казей, Б.И. Олейников, В.А. Сердюков Математика. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ. М. 2001
7. В.В. Смирнова. Математика. Типовые расчеты по «Линейному и динамическому программированию». М. 1998г.
|
|
