Содержание2.1. Интерполирование функции.
Для функции, заданной таблично:
1) составить интерполяционный многочлен Лагранжа;
2) вычислить приближенно (с 4 дес. зн.) значение функции в точке X*;
3) построить блок-схему алгоритма, написать программу.
X -2 -1 0 1
Y 4 1 -2 -3
X*=–0,025.
Решение. Составим интерполяционный многочлен Лагранжа.
=
Вычислим значение многочлена Лагранжа средствами MathCAD.
Блок-схема алгоритма.
Начало
Вычисление Ln(x)
Вывод Ln(x)
Конец
Текст программы
Итак, значение многочлена Лагранжа в заданной точке
.
2.2. Обработка экспериментальных данных.
1) Выбор зависимости.
2) Определение коэффициентов этой зависимости.
Вариант 4.
Xi 24,5 30,0 64,5 74,5 88,7 94,5 98,9
Yi 0 4 18 29 51 73 90
Решение.
Средствами программы Excel найдем необходимые значения. Приведем фрагменты файла с графиком эмпирической зависимости и результатами вычислений.
X 24,5 30 64,5 74,5 88,7 94,5 98,9
Y 0 4 18 29 51 73 90
Хар= 61,7
Yар= 45
Хгеом= 49,22449
Yгеом= 0
Хгарм= 39,27147
Yгарм= 0
По графику экспериментальной зависимости приблизительно определяем, что
То же самое с указанием формул.
X 24,5 30 64,5 74,5 88,7 94,5 98,9
Y 0 4 18 29 51 73 90
Хар =(B1+H1)/2
Yар =(B2+H2)/2
Хгеом =КОРЕНЬ(B1*H1)
Yгеом =КОРЕНЬ(B2*H2)
Хгарм =(2*B1*H1)/(B1+H1)
Yгарм =(2*B2*H2)/(B2+H2)
Теперь необходимо рассчитать погрешности для 7 классов исследуемых кривых.
1) Линейные y=ax+b;
2) Показательные y=abx;
3) Дробно-рациональные y=1/(ax+b);
4) Логарифмические y=aln(x)+b;
5) Степенные y=axb;
6) Гиперболические y=a+b/x;
7) Дробно-рациональные второго вида y=x/(ax+b)
Рассчитаем погрешности для каждого вида зависимости средствами Excel (фрагмент файла:
Хар= 61,7
Yар= 45 Y1*= 20
Хгеом= 49,22449
Yгеом= 0 Y2*= 10
Хгарм= 39,27147
Yгарм= 0 Y3*= 5
E1= 25
E2= 20
E3= 15
E4= 35
E5= 10
E6= 40
E7= 5
То же самое, но с указанием формул:
Хар= =(B1+H1)/2
Yар= =(B2+H2)/2 Y1*= 20
Хгеом= =КОРЕНЬ(B1*H1)
Yгеом= =КОРЕНЬ(B2*H2) Y2*= 10
Хгарм= =(2*B1*H1)/(B1+H1)
Yгарм= =(2*B2*H2)/(B2+H2) Y3*= 5
E1= =ABS(C19-E19)
E2= =ABS(E19-C22)
E3= =ABS(E19-E25)
E4= =ABS(E22-C19)
E5= =ABS(E22-C22)
E6= =ABS(E25-C19)
E7= =ABS(E25-C25)
Т.к. погрешность E7 минимальна, то зависимость между Х и Y будет дробно-рациональной, т.е. уравнение зависимости имеет вид: y=x/(ax+b).
Воспользуемся методом выравнивания и превратим зависимость в линейную. Для этого введем переменную k=1/x, тогда зависимость примет вид: y(x)=kx/a+ k/b.
Найдем значение k в крайних точках промежутка:
k(24,5)=1/24,5=0,04.
k(98,9)=1/98,9=0,01.
Получаем систему уравнений для коэффициентов a и b.
0=0,04•24,5/a+0,04b
90=98,9•0,01/a+0,01b
Из этой системы уравнений получим, что
a=0,008
b=-2931.
Проведем эти же вычисления средствами Excel и приведем фрагменты файлов с числами и формулами
kнач= 0,040816
kкон= 0,010111
b= –2931,11
a= 0,00836
То же самое с указанием формул:
kнач= =1/B1
kкон= =1/H1
b= =H2/(C36-C35)
a= =1/(C35*C38)
Следовательно, искомое уравнение зависимости имеет вид:
2.3. Решить систему уравнений:
с точностью E=10-4 методом итераций.
Построить блок-схему алгоритма, написать программу.
120. P=5.1; Q=7.1; R=16.9
Блок-схема алгоритма.
Начало
Присвоение начальных данных
Расчет следующей итерации
Нет
Разница между текущими и прошлыми значениями переменных < 10-4
Да
Вывод значений переменных и количества итераций
Конец
Текст программы на MathCAD с результатами вычислений:
Таким образом, решениями данной системы уравнений является набор чисел
(0,00051; 0,00071;0,0169)ВведениеЛитература
|
|
