СодержаниеСОДЕРЖАНИЕ
№1 2
Найдите матрицу D = (2ВА+3СА)
№2 3
Вычислить определитель
D = 1 0 -6 -9
2 2 –3 -4
5 6 -4 -8
№3 3
Решите матричное уравнение
№4 5
При каком значении параметра р ранг матрицы
№5 5
Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора:
f1(4,2,-1), f2(5,3,-2), f3(3,2,-1), х(4,3,-2). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3.
№6 6
Доказать, что система
х1 - 6х3 – 9х4 = 3,
2х1 + 2х2 – 3х3 – 4х4 = 3,
5х1 + 6х2 – 4х3 – 8х4 = 10,
4х1 + 7х2 + 7х3 + 3х4 = 11
имеет единственное решение.
Неизвестное х4 найдите по формулам Крамера.
Решите систему методом Гаусс
№8 10
Дана система линейных однородных уравнений
х1 - 2х2 + 3х3 - 4x4 = 0
2х1 - 4х2 + 5х3 + 7x4 = 0
6х1 – 12х2 +17х3 - 9x4 = 0
Докажите, что система имеет нетривиальное решение.
Найдите общее решение системы.
Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.
№9 12
Найдите |r|2, если r = 3а - в, |а| = 2, |в| = 5, (а, в) = 1200.
№10 13
Даны три вершины параллелограмма:
А(0,1,2); В(3,5,2); С(5,1,2).
Найдите длину высоты параллелограмма, опущенной на АВ.
№11 14
Линейный оператор А действует в R3 -> R3 по закону
Ах = (2х1 + 3х3, 10х1 - 3x2 - 6х3, -х1 - 2х3),
где х(х1,х2,х3) - произвольный вектор.
Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе.
Докажите, что вектор х(1,8,-1) является собственным для матрицы А.
Найдите собственное число ?0, соответствующее вектору х.
Найдите другие собственные числа, отличные от ?0.
Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.Введение№1
Найдите матрицу D = (2ВА+3СА), если
В = 1 -1 0 0 С = 0 2 -2 0
0 -2 1 0 1 0 -1 1
А = 1 2
0 1
-1 0
-1 -2
Решение
ВА = 1 -1 0 0 * 1 2 =
0 -2 1 0 0 1
-1 0
-1 2
= 1 * 1 – 1 * 0 + 0 * (-1) + 0 * (-1) 1 * 2 – 1 * 1 + 0 * 0 + 0 * 2 =
0 * 1 – 2 * 0 + 1 * (-1) + 0 * (-1) 0 * 2 – 2 * 1 + 1 * 0 + 0 * 2
= 1 1
-1 -2
СА = 0 2 -2 0 * 1 2 =
1 0 -1 1 0 1
-1 0
-1 2
= 0 * 1 + 2 * 0 - 2 * (-1) + 0 * (-1) 0 * 2 + 2 * 1 - 2 * 0 + 0 * 2 =
1 * 1 + 0 * 0 - 1 * (-1) + 1 * (-1) 1 * 2 + 0 * 1 - 1 * 0 + 1 * 2
= 2 2
4 4
D = 2ВА+3СА = 2 * 1 1 + 3 * 2 2 = 2 2 + 6 6 = 8 8
-1 -2 1 4 -2 -4 3 12 1 8
№2
Вычислить определитель
D = 1 0 -6 -9
2 2 –3 -4
5 6 -4 -8
Вычислить нельзя, нет еще одной строки четвертой!
№3
Решите матричное уравнение
1 2 -3 4 0 -1
0 1 2 * Х = 11 * 2 1 1
1 0 4 1 3 0
Решение
Пусть уравнение имеет вид: АХ = 11В
А-1 * А * Х = А-1 * 11В
Х = А-1 * 11В
Или Х = 11 А-1 В
Составим матрицу, обратную А.
1 2 -3
? = 0 1 2 = 4 + 4 + 3 = 11
1 0 4
Алгебраическое дополнение:
А11 = 1 2 = 4 А12 = - 0 2 = 2 А13 = 0 1 = -1
0 4 1 4 1 0
А21 = - 2 -3 = -8 А22 = 1 -3 = 7 А23 = - 1 2 = 2
0 4 1 4 1 0
А31 = - 2 -3 = 7 А32 = - 1 -3 = -2 А33 = 1 2 = 1
1 2 0 2 0 1
А-1 = 1 * 4 -8 7
11 2 7 -2
-1 2 1
Тогда
Х = 11 * 1 * 4 -8 7 * 4 0 -1 =
11 2 7 -2 2 1 1
-1 2 1 1 3 0
4 * 4 – 8 * 2 + 7 * 1 4 * 0 – 8 * 1 + 7 * 3 4 * (-1) – 8 * 1 + 7 *0
= 2 * 4 + 7 * 2 – 2 * 1 2 * 0 + 7 * 1 – 2 * 3 2 * (-1) + 7 * 1 – 2 *0 =
-1 * 4 + 2 * 2 + 1 * 1 -1 * 0 + 2 * 1 + 1 * 3 -1*(-1) + 2 *1 + 1*0
7 12 -12
= 20 1 5
1 5 3
То есть решением уравнения является матрица:
7 12 -12
Х = 20 1 5
1 5 3
№4
При каком значении параметра р ранг матрицы
1 - 2 1 -3
А = 2 4 -5 1
8 р -5 1
равен трем?
Решение
Ранг А = 3, значит любой определитель (хотя бы один) третьего порядка должен отличаться от нуля.
1 - 2 -3
2 4 1 = 4 – 16 – 6р + 96 – р + 4 = 88 – 7р ? 0,
8 р 1
значит при р ? 88/7 данный определитель отличен от нуля и ранг А = 3.
№5
Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора:
f1(4,2,-1), f2(5,3,-2), f3(3,2,-1), х(4,3,-2). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3.
Найдите координаты вектора х в новом базисе.
Решение
Смешанные приведенные векторов f1, f2, f3:
4 2 -1
f1, f2, f3 = 5 3 -2 = -12 – 12 – 10 + 9 + 16 + 10 = 1 ? 0,
5 2 -1
следовательно, данные векторы образуют новый базис.
х = ?f1 + ?f2 + ?f3
(4,3,-2) = ?(4,2,-1) + ?(5,3,-2) + ?(3,2,-1).
4 ? + 5 ? + 3 ? = 4
2 ? + 3 ? + 2 ? = 3
- ? - 2 ? - ? = -2 (*2)
+ 2 ? + 3 ? + 2 ? = 3
- 2? - 4 ? - 2 ? = -4
- ? = -1, ? = 1, тогда
4 ? + 3 ? = -1
? + ? = 0, ? = -?
-4 ? + 3 ? = -1
? = 1, ? = -1
? = -1, ? = 1, ? = 1.
Тогда х = -f1 + f2 + f3 – разложение вектора х по базису векторов f1, f2, f3.
№6
Доказать, что система
х1 - 6х3 – 9х4 = 3,
2х1 + 2х2 – 3х3 – 4х4 = 3,
5х1 + 6х2 – 4х3 – 8х4 = 10,
4х1 + 7х2 + 7х3 + 3х4 = 11
имеет единственное решение.
Неизвестное х4 найдите по формулам Крамера.
Решите систему методом Гаусса.
Решение
Определитель системы:
1 0 -6 -9
? = 2 2 -3 -4 = 1 * А11 + 0 * А12 – 6 * А13 – 9 * А14 =
5 6 -4 -8
4 7 7 3
2 -3 -4 2 2 -4 2 2 -3
= (-1)2 * 6 -4 -8 - 6 * (-1) 4* 5 6 -8 - 9 * (-1)5 * 5 6 -4 =
7 7 3 4 7 3 4 7 7
= (-24 + 168 – 168 – 112 + 112 + 54) – 6 (36 – 64 – 140 + 96 + 112 – 30) + 9 (84 – 32 – 105 + 72 + 56 – 70) = 30 – 6 * 10 + 9 * 5 = 30 – 60 + 45 = 15 ? 0.
1 0 -6 3
?х4 = 2 2 -3 3 = 1 * А11 + 0 * А12 – 6 * А13 + 3 * А14 =
5 6 -4 10
4 7 7 11
2 -3 3 2 2 3 2 2 -3
= (-1)2 * 6 -4 10 - 6 * (-1) 4* 5 6 10 + 3 * (-1)5 * 5 6 -4 =
7 7 11 4 7 11 4 7 7
= (-88 – 210 + 126 + 84 – 140 + 198) – 6 * (132 + 80 + 105 – 72 – 140 – 110_ + (-3) * 5 = -30 – 6 * (-5) – 15 = -30 + 30 – 15 = -15 ? 0.
Система имеет единственное решение, так как ? ? 0, х4 = ?х4 / ? = -15 / 15 = -1.
Решение методом Гаусса:
х1 х2 х3 х4 в
1 0 -6 -9 3
2 2 -3 -4 3
5 6 -4 -8 10
4 7 7 3 11
1 0 -6 -9 3
0 2 9 14 -3
0 6 26 37 -5
0 7 31 39 -1
1 0 -6 -9 3
1 4,5 7 -1,5
0 -1 -5 4
0 -0,5 -10 9,5
1 0 -6 -9 3
1 4,5 7 -1,5
1 5 -4
-15 15
Следовательно,
-15х4 = 15, х4 = -1
х3 + 5х4 = -4
х3 = -4 – 5х4 = -4 + 5 = 1
х2 + 4,5х3 +7х4 = -1,5
х2 = -1,5 – 4,5х3 – 7х4 = -1,5 – 4,5 + 7 = 1
х1 – 6х3 – 9х4 = 3
х1 = 3 + 6х3 + 9х4 = 3 + 6 * 1 + 9 * (-1) = 0
х1 =0
х2 = 1
Ответ: х3 = 1
х4 = -1
№7
Дана система линейных уравнений
х1 + х2 – х3 – 2х4 = 2,
2х1 + 3х2 – 2х3 – 5х4 = 4,
х1 – 5х2 – х3 + 4х4 = 2.
Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение.
Найдите частное решение, если х3 = 1, х4 = 1.
Решение
Вычислим ранг А и ранг расширенной матрицы системы А1:
1 1 -1 -2 2
А1 = 2 3 -2 -5 4
1 -5 –1 4 2Литература
|
|
