СодержаниеЗадача 1
Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.
Наименование Норма затрат на Объем
ресурсов Продукт А Продукт В ресурса
Сырье (кг) 2 1 95
Оборудование (ст.час.) 6 4 294
Трудоресурсы(чел.час.) 4 7 339
Цена реализации (руб.) 658 625
Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.
Требуется
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.
3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.
4. Используя условия "дополняющей нежесткости", найти оптимальное решение двойственной задачи.
5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.
6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить их графики этих функций.
Задача 2.
Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 30% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.
Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б приведены в таблице:
Наименование Норма затрат на Объем
ресурсов Продукт А Продукт Б ресурса
Сырье (кг) 4 2 1120
Оборудование (ст.час) 2 3 720
Трудоресурсы (чел.час.) 13 3 ?
Цена реализации (руб.) 2135 1040
Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).
Требуется:
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочими с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.
2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб./чел.-час.
3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 60 рублей за чел.-час. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.ВведениеЗадача 1
Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.
Наименование Норма затрат на Объем
ресурсов Продукт А Продукт В ресурса
Сырье (кг) 2 1 95
Оборудование (ст.час.) 6 4 294
Трудоресурсы(чел.час.) 4 7 339
Цена реализации (руб.) 658 625
Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.
Требуется
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.
3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.
4. Используя условия "дополняющей нежесткости", найти оптимальное решение двойственной задачи.
5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.
6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить их графики этих функций.
Решение.
1.1. В нашей задаче необходимо определить месячные объемы выпуска продукции вида А и Б. Обозначим эти объемы как переменные модели:
х1 - месячный объем выпуска продукции А,
х2 - месячный объем выпуска продукции Б.
Ограничения модели должны учитывать физические возможности использования ресурсов. Таким образом, ограничения модели имеют вид:
Расход ресурсов для Максимально возможный
производства месячных месячный размер используемых
объемов продукции ресурсов
Используя данные таблицы, получим
расход сырья = 2х1 + х2,
затраты времени работы оборудования = 6х1 + 4х2,
затраты рабочего времени = 4х1 + 7х2.
Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их максимально возможный месячный размер, то имеем ограничения
2х1 + х2 95
6х1 + 4х2 294
4х1 + 7х2 339
Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1 и х2 должны быть неотрицательны, т.е. х1 0, х2 0.
Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной выручки от реализации произведенной в течении месяца продукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то
Z = 658х1 + 625х2,
а основная цель предприятия может быть выражена так:
Максимизировать целевую функцию Z = 658х1 + 625х2,
Перепишем это условие в следующей форме:
Z = 658х1 + 625х2 max.
Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде.
Найти неизвестные значения переменных х1 и х2, удовлетворяющие ограничениям
2х1 + х2 95
6х1 + 4х2 294
4х1 + 7х2 339
х1 0, х2 0
и доставляющих максимальное значение целевой функции
Z = 658х1 + 625х2 max.
Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.Литература
|
|
