СодержаниеВведение 3
I Уравнение линии 4
II Элементы аналитической геометрии 4
1 Понятие вектора 4
2 Скалярное произведение 5
3 Векторное произведение 5
4 Смешанное произведение трех векторов 6
5 Уравнения плоскости 7
6 Уравнения прямой 10
7 Прямая и плоскость 11
III Прямые и плоскости в аффинном пространстве 12
IV Выпуклые множества 13
Заключение 15
Список литературы 16ВведениеПрименение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую историю. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольни-ки, выражая искомые отрезки, как корни численных квадратных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неоднократно.
Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились осно-вой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Первоначально работы в этом направлении не выходили за пределы традиционных постановок и реше-ний вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рас-смотрено Виетом, за которым последовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566-1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хоро-ший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В "Собрании различных задач" (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно изданном труде "О математическом анализе и синтезе" (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Виета решает разно-образные задачи на деление отрезков, построение треугольников и так назы-ваемые вставки; по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относительно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную за-дачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпенди-кулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит че-рез вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес за-дачу к тем, которые не относятся к алгебре (sub algebram non cadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и показал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его корни, с положением частей иско-мого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты кото-рых, между прочим, квадратично иррациональны относительно исходных ко-эффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит сравнительная простота уравнения. Эти соображения Де-карта подробнее развиты во "Всеобщей арифметике" Ньютона. Оригинальное решение принадлежит еще Гюйгенсу.
Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовляла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой является уже не только нахождение отдельных отрезков, выражаемых корнями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхностей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или координатами.Литература1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968. - 912 с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии (10-е изд.). М.: Наука, 1967. - 272 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии (4-е изд.). М.: Высш. шк., 1967. - 655 с.
4. Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрия. - М.:МЦНМО, 2007. - 2-е изд., перераб. и доп. - 328 с.
5. Троицкий Е.В. Аналитическая геометрия. М.: МГУ, 1999. - 118 с.
|
