СодержаниеВведение 3
1. Методы решения ДАУ 4
1.1. Метод пространства состояний 4
1.2. Метод ε-вложения 4
1.3. Системы ДАУ высших индексов 5
2. Решение системы ДАУ средствами MATHCAD 7
2.1. Задание состояния системы 8
2.2. Стационарное состояние системы 12
2.3. Динамика системы при изменении параметров системы 14
Заключение 21
Список использованной литературы 22
Введение
Под системой дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) понимается система, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений и недифференциальных соотношений. К решению систем ДАУ сводятся многие задачи механики, кинетики химических реакций, теории управления.
В настоящее время данной проблеме посвящено множество работ, а также разработано множество программ, в которых реализованы различные алгоритмы решения систем ДАУ. Например, в работе [1] описана программа GEAR, осуществляющая численное интегрирование при помощи формул дифференцирования назад; в работе [2] описывается программа LSODI, предназначенная для решения неявных систем ДАУ.
Но, тем не менее, несмотря на значительные успехи в данной области, разработанные методы не ликвидируют многие трудности решения систем ДАУ по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
-начальные условия должны быть согласованы с недифференциальными соотношениями;
- система линейных уравнений, решаемая на каждом шаге интегрирования, плохо обусловлена для мелких шагов;
- ошибка метода чувствительна к несогласованности в начальных условиях и к резкому изменению решения;
-численное решение в большей степени зависит от точности аппроксимации, чем для ОДУ.
Целью данной работы является изучение существующих методов решения ДАУ, а также способов их решения с использованием современных программных продуктов.Введение1.1. Метод пространства состояний
Для численного решения уравнений (2) можно использовать два способа [3]. Первый из них (метод пространства состояний) основан на приведении уравнений к нормальной форме (1) путем численного решения алгебраической подсистемы (2б) при заданном векторе x. Подставляя затем полученное значение вектора y в (2а), получим искомые значения производных. Для решения алгебраической подсистемы можно использовать один из трех методов: простых итераций, Ньютона-Рафсона, Бройдена. Метод пространства состояний позволяет разделить задачи интегрирования ОДУ и решения алгебраических уравнений, поэтому его можно применять в сочетании с любым методом интегрирования. Но его нельзя использовать при решении задач высших индексов, когда алгебраическая подсистема вырождена.
1.2. Метод ε-вложения
Второй способ (метод ε-вложения) основан на совместном решении дифференциальной и алгебраической подсистем и может быть интерпретирован как решение сингулярно возмущенной задачиЛитератураСписок использованной литературы
1. Gear C. W. The simultaneous numerical solution of dif-ferential-algebraic equations // IEEE Trans. Circuit Theory. CT.-18. 1971. P.89-95.
2. Hindmarsh A. C. LSODE and LSOD1, two new initial value ordinary differential equations solvers // ACM. SIGNUM. Newsletter.1980.V.15.4. P. 10-11
3. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.
4. Ю.А. Казанский, В.А. Левченко, Е.С. Матусевич, Ю.С. Юрьев, И.П. Балакин, В.А. Белугин, С.Л. Дорохович, А.А. Казанцев, А.В.Тихоненко, А.А Травлеев, А.А.Уваров. Саморегулируемый реактор сверхмалой мощности для теплоснабжения
|
