СодержаниеВведение………………........…………………………………………………….
1 Оптимизация с использованием модели транспортной задачи …….............
1.1 Математическая модель задачи……...........…………………..………….….
1.2 Выбор и описания метода решения………...........…………………………
1.3 Оптимизация решения вручную…………………...............……………….
1.4 Оптимизация решения с использованием средств Microsoft Excel ………
2. Задача о назначениях……………………………………………………….
2.1. Математическая модель задачи ……………………………………….
2.2. Выбор и описания метода решения………...........…………………………
2.3. Оптимизация решения вручную…………………...............……………….
2.4. Оптимизация решения с использованием средств Microsoft Excel …….
2.5. Оценка эффективности оптимального решения ………………………….
3. Общая задача линейного программирования ……………………………....
3.1. Математическая модель задачи…………………………………..
3.2. Выбор и описание метода решения…………………………... …
3.3. Оптимизация решения вручную………………………………….
3.4 Оптимизация решения с использованием средств Microsoft Excel ….…...
3.5 Оценка эффективности оптимального решения ……………………...
4. Использование методов теории массового обслуживания
4.1. Описание объекта и математическая модель задачи …………………..
4.2. Выбор и описание метода решения …………………………………….
4.3. Решение задачи и его интерпретация……………………………….
4.4. Оценка эффективности оптимального решения ……………………..
Заключение ……………………………………………………………………….
Литература …………………………………………….ВведениеВведение
В настоящее время задачи, стоящие в народном хозяйстве планирование производства, обслуживания, транспортных перевозок и т.п., являются очень сложными и объемными. Каждая такая задача имеет множество параметров, от которых зависит эффективность тех или иных операций. Если еще в начале двадцатого века задачи производственного планирования можно было решить методом перебора вариантов, то сейчас это невозможно. Поэтому и возникла дисциплина, получившая название “Системный анализ и исследование операций”.
Под исследованием операций понимается применение количественных математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается в том случае, когда для принятия количественного решения применяются математические методы.
В настоящей работе производится решение комплекса типовых оптимизационных задач, стоящих перед руководителем предприятия или его подразделения. Это задача о наиболее выгодном распределении ресурсов, выпуске и транспортировке продукции, задача о назначениях, задача линейного программирования и задача с использованием системы массового обслуживания.
1 Оптимизация с использованием модели транспортной задачи
1.1 Математическая модель задачи
Математическая модель задачи представляет собой следующее. Необходимо доставить от заводов i некоторый однородный товар в объеме Аi единиц потребителям j с минимальными транспортными издержками. Потребность каждого потребителя в товаре составляет Вj единиц. Известны также сij – величины стоимости перевозки единицы груза от i – того завода к j – потребителю.
Т.к. , то мы имеем транспортную задачу открытого типа.
Введем переменные xij=Аij, обозначающие количество единиц груза, перевозимого от i-го завода j-му потребителю. Такие переменные должны удовлетворять следующим условиям:
1. ограничение по запасам: j=1n xij = Ai; (1.1.1)
2. ограничение по потребностям: i=1m xij = Bj; (1.1.2)
3. условия неотрицательности: xij0(i=1..m; j=1..n). (1.1.3)
Суммарные транспортные затраты на перевозки определяются следующей формулой:
L =i=1m j=1n cijxij (1.1.4)
Таким образом, математически транспортная задача представляется так. Найти m.n переменных xij, удовлетворяющих системам уравнений (1.1.1) и (1.1.2), и условиям неотрицательности (1.1.3), для которых целевая функция (1.1.4) принимает минимальное значение.
1.2 Выбор и описание метода решения
Прежде чем приступить к решению задачи необходимо построить исходный опорный план. Для этого воспользуемся методом минимальной стоимости. В таблице из всех значений выбираем наименьшее и в клетку (i,j) с наименьшей стоимостью записываем меньшее из чисел Аi и Bj (объемы поставок и потребностей соответственно). Исключаем из рассмотрения строку i, если запас Аi вывезен полностью, или столбец j, если потребность Bj полностью удовлетворена. Среди остальных стоимостей снова выбираем наименьшую и заполняем соответствующую клетку таблицы. Таким же образом продолжаем заполнять клетки таблицы, пока не будет найдено опорное решение.
Для решения воспользуемся методом потенциалов.
Теорема: Решение транспортной задачи будет оптимальным, если найдутся такие числа и , называемые соответственно потенциалами поставщиков и потребителей, которые будут удовлетворять условиям:
+ =сij для ; (1.2.1)
+ =0). если для всех клеток это условие выполнено, то опорный план является оптимальным (решение завершено). Если же для некоторых свободных клеток sij < 0, то клетка с наименьшим значением sij является ерспективной и выполняется следующий пункт алгоритма.
2.3. К перспективной клетке сроится цикл, расставляются знаки по циклу, при этом в перспективную клетку ставится +, а остальные знаки в вершинах цикла чередуются, и определяется величина перераспределения груза Qij = min xij, где xij – объем перевозки груза, записанный в клетках (вершинах) цикла таблицы, отмеченных знаком минус.
2.4. осуществляется перераспределение груза по циклу на величину Q. В результате выполнения этого пункта будет получен новый опорный план, которй проверяется на оптимальность, т.е. производится переход к пункту 2.1 алгоритма.
После перераспределения потенциалы пересчитываются.
1.3 Оптимизация решения вручную
Составим исходный опорный план по методу “минимального элемента”. Т.к. при таких начальных условиях Ai < Bj , то мы имеем транспортную задачу с неправильным балансом. Рассмотрим первый вариант( расширим мощность первого завода с дополнительными затратами на производство единицы продукции ).
Таблица 1.1 – Транспортная таблица
B1 B2 B3 B4 ai αi
A1 4 4 6 5 7 7 4 9 300+150 0
350+ 100-
A2 7 7 9 4 10 9 7 7 600 3
150- + 450
A3 0 8 2 2 3 3 0 8 1000 -4
700- 300+
bj 500 700 400 450
βj 4 6 7 4
Найдем значения потенциалов из следующей системы уравнений
1+1=4; 2+1=7; 2+4=7; 1+3=7; 3+2=2
Получаем:
1=0; 2=3;3=-4; 1=4; 2=6; 3=7; 4=4.
Псевдостоимости меньше стоимостей. Т.к. задача на минимум, то оптимальный план достигнут. Получили следующее:
Таблица 1.2 – Транспортная таблица
B1 B2 B3 B4 ai αi
A1 4 4 1 5 2 7 4 9 300+150 0
450
A2 7 7 4 4 5 9 7 7 600 3
50 100 450
A3 5 8 2 2 3 3 5 8 1000 1
600 400
bj 500 700 400 450
βj 4 1 2 4
1+1=4;2+1=7;2+2=4;2+4=7;3+2=2;3+3=3.
1=0;2=3;3=1;1=4;2=1;3=2;4=4.
Стоимость перевозок: 4*450+7*50+100*4+7*450+2*600+3*400=6480.
Затраты на производство: (300*7+150*(7+2))+(600*6)+2000=9050.
Рассмотрим второй вариант( расширим мощность второго завода с дополнительными затратами на производство единицы продукции ).
Таблица 1.3 – Транспортная таблица
B1 B2 B3 B4 ai αi
A1 4 4 6 5 7 7 4 9 300 0
300
A2 7 7 9 4 10 9 7 7 600+150 3
200 100 450
A3 0 8 2 2 3 3 0 8 1000 1
600 400
bj 500 700 400 450
βj 4 1 2 4
1+1=4;2+1=7;2+2=4;2+4=7;3+2=2;3+3=3.
1=0;2=3;3=1;1=4;2=1;3=2;4=4.
Стоимость перевозок: 4*300+7*200+100*4+7*450+2*600+3*400=8550.
Затраты на производство: 2100+(600*6+150*(6+6))+2000=9500.
Рассмотрим третий вариант(добавим четвертый завод с затратами на производство единицы продукции ). Решение представлено в таблицах 4-6.
Таблица 1.4 – Транспортная таблица
B1 B2 B3 B4 ai αi
A1 4 4 6 5 7 7 4 9 300 0
200+ 100-
A2 7 7 9 4 10 9 7 7 600 3
300- 300+
A3 0 8 2 2 3 3 0 8 1000 -4
700 300
А4 15 12 17 15 18 8 15 15 150 11
+ 150-
bj 500 700 400 450
βj 4 6 7 4ЛитератураЛитература:
1. Экономико-математические методы и модели для руководителя. Под ред.
Сергеева - М.: «Экономика»,1984.
2. Кузнецов А.В., Холодов Н.И. Математическое программирование. – Мн.: Выш. Шк., 1984 – 256 с.
3. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холодов Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. – Мн.: Выш. Шк., 1994 – 350 с.
4. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. – М.: Наука, 1965 – 323 с.
5. Системный анализ и исследование операций. Методические указания к курсовой работе для специальности 1-53.01.02.ПЗ - “Автоматизированные системы обработки информации”. Могилев: ММИ, 1996. 30 с.
6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. «Финансы и статистика», 1998 г.
7. Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.
8. Т. Л. Саати. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. /Под. ред. И. Н. Коваленко, изд-ие 2. М., 1971.
|
|
