СодержаниеВведение..................................3
Глава I...................................6
Тригонометрические ряды, их свойства......................6
1.1 Свойства тригонометрического ряда Фурье..................8
1.2 Разложение функций в ряд Фурье......................9
1.3 Постановка вопроса, интеграл Дирихле..................10
1.4 Сходимость ряда Фурье. Леммы и теоремы...............11
1.5 Интеграл Фурье..............................21
Глава II................................29
Периодические решения дифференциальных уравнений. Основной принцип в теории решений ДУ.............................29
2.1. Отображение за период. Основной принцип.................29
2.2 Отражающая функция.........................33
Глава III.................................38
Построение периодических решений линейных ДУ...............38
3.1 Построение систем по данной отражающей функции............38
3.2 Почти периодические функции и почти периодические решения дифференциальных уравнений.......................46
3.3 Построение почти периодических решений линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с отклоняющимися коэффициентами.....50
Заключение..................................58
Список использованных источников......................59ВведениеВ науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими явлениями, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени , называемый периодом. Примером может служить установившееся движение паровой машины, которая по истечении определенного числа оборотов снова проходит через свое начальное положение, затем явление переменного тока и т.п. Различные величины, связанные с рассматриваемым периодическим явлением, по истечении периода возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции от времени , характеризуемые равенством .
Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: , где есть "частота", связанная с периодом соотношением
(1.1)
Из подобных простейших функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, т.к. сложение синусоидальных величин с одной частотой дает снова синусоидальную величину, причем с той же частотой. Возьмем величины вида:
(1.2)
которые, если не считать постоянной, имеют частоты кратные наименьшей из них, , и периоды . При их сложении получится периодическая функция (с периодом ), но уже существенно отличная от величин типа (1.2).Литература1. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Л. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишенев: Штиинца, 1973, 426 с.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том II, М.: Высшая школа, 1981
3. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: Гостехтеоретиздат, 1953. 396 с.
4. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных систем. Гомель: ГГУ, 1985
5. Панков А.А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1985, 181с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, том II, М.: Интеграл - Пресс, 2001
7. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1989. - Т.25. - №10. - с.1787 - 1798.
8. Рудин У. Основы математического анализа М.: Мир,1966.
9. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, том I, М.: Издательство иностранной литературы, 1953
10. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. M.: Физматгиз,1963
|
