Задача 1. В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны
сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.
Таблица 1
|
Номер автомобиля
i
|
Цена (тыс.у.е.)
yi
|
Возраст (лет)
xi1
|
Мощность двигателя (л.с.)
xi2
|
|
1
|
8,9
|
6,0
|
94
|
|
2
|
17,3
|
4,0
|
170
|
|
3
|
10,6
|
5,5
|
105
|
|
4
|
18,4
|
4,0
|
180
|
|
5
|
9,5
|
5,5
|
88
|
|
6
|
16,0
|
4,0
|
145
|
|
7
|
7,1
|
7,0
|
95
|
|
8
|
11,0
|
6,0
|
124
|
|
9
|
15,7
|
5,0
|
165
|
|
10
|
14,1
|
3,5
|
112
|
|
11
|
15,5
|
3,0
|
120
|
|
12
|
14,7
|
4,5
|
145
|
|
13
|
15,9
|
3,5
|
140
|
|
14
|
10,8
|
7,0
|
145
|
|
15
|
11,5
|
5,5
|
120
|
|
16
|
12,8
|
5,0
|
130
|
1. Парные зависимости
1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X1, а также для цены Y и мощности двигателя X2.
На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X1 и Y от X2 и записать их математически.
1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии:
y = α0 + α1x1 y = β0 + β1x2
1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля,
а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.
1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.
1.5. Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста,
а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.
1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.
2. Множественная зависимость
2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели
Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ε
2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.
2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года
и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
3. Экономическая интерпретация
На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ
зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.
Задача 2. Временной ряд
В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.
Таблица 2
|
Месяц,
t
|
Объем продаж (тыс.у.е.)
zt
|
|
1
|
259
|
|
2
|
266
|
|
3
|
236
|
|
4
|
296
|
|
5
|
324
|
|
6
|
286
|
|
7
|
303
|
|
8
|
314
|
|
9
|
369
|
|
10
|
352
|
|
11
|
353
|
|
12
|
372
|
1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного
графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.
2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда
Zt = γ0 + γ1t
3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.
4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t =15.
Задача 3. Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность
1. Для регрессионных моделей:
Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ε и
Zt = γ0 + γ1t + ε
с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.
2. Для регрессионной модели
Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ε
проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а) парный коэффициент корреляции;
б) критерий «хи-квадрат» χ2 на уровне значимости 0,05.
