Задача 1. В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.
Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны
сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.
Таблица 1
|
Номер автомобиля
i
|
Цена (тыс.у.е.)
yi
|
Возраст (лет)
xi1
|
Мощность двигателя (л.с.)
xi2
|
|
1
|
18,8
|
3,0
|
145
|
|
2
|
17,6
|
2,0
|
130
|
|
3
|
14,7
|
4,0
|
115
|
|
4
|
11,8
|
6,0
|
122
|
|
5
|
13,5
|
6,0
|
127
|
|
6
|
13,9
|
6,0
|
140
|
|
7
|
22,4
|
2,0
|
176
|
|
8
|
18,2
|
4,0
|
161
|
|
9
|
11,1
|
6,0
|
110
|
|
10
|
21,1
|
2,0
|
157
|
|
11
|
20,0
|
3,0
|
164
|
|
12
|
19,8
|
2,0
|
146
|
|
13
|
19,9
|
2,0
|
140
|
|
14
|
20,5
|
2,0
|
150
|
|
15
|
19,0
|
3,0
|
160
|
|
16
|
20,2
|
2,0
|
154
|
1. Парные зависимости
1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X1, а также для цены Y и мощности двигателя X2.
На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X1 и Y от X2 и записать их математически.
1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии:
y = α0 + α1x1 y = β0 + β1x2
1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля,
а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.
1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.
1.5. Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста,
а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.
1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.
2. Множественная зависимость
2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели
Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ε
2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.
2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и
мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
3. Экономическая интерпретация
На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ
зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.
Задача 2. Временной ряд
В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.
Таблица 2
|
Месяц,
t
|
Объем продаж (тыс.у.е.)
zt
|
|
1
|
156
|
|
2
|
204
|
|
3
|
222
|
|
4
|
226
|
|
5
|
208
|
|
6
|
304
|
|
7
|
294
|
|
8
|
294
|
|
9
|
301
|
|
10
|
289
|
|
11
|
302
|
|
12
|
276
|
1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного
графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.
2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда
Zt = γ0 + γ1t
3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.
4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t =15.
Задача 3. Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность
1. Для регрессионных моделей:
Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ε и
Zt = γ0 + γ1t + ε
с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.
2. Для регрессионной модели
Y = α0 + α1X1 + α2X2 + ε
проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:
а) парный коэффициент корреляции;
б) критерий «хи-квадрат» χ2 на уровне значимости 0,05.
