Задача 1.       В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X₁ и мощности двигателя X₂ из базы данных выбраны сведения

о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

Номер автомобиля i	Цена (тыс.у.е.) yi	Возраст (лет) xi1	Мощность двигателя (л.с.) xi2
1	17,4	4,0	127
2	12,1	5,0	81
3	19,7	3,0	138
4	13,9	4,0	78
5	14,2	5,0	98
6	13,7	4,0	74
7	12,4	5,0	88
8	13,6	7,0	129
9	14,2	5,0	99
10	15,6	3,0	92
11	12,4	7,0	115
12	16,0	5,0	131
13	16,7	4,0	124
14	18,8	3,0	131
15	10,2	7,0	88
16	18,0	3,0	125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Парные зависимости

1.1. Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂.

На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически.

1.2. Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии:

 

y = α₀ + α₁x₁                y = β₀ + β₁x₂

 

1.3. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля,

а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

1.4. Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

1.5. Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста,

а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний.

1.6. На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с.

Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

 

2. Множественная зависимость

2.1. По методу наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

 

Y = α₀ + α₁X₁ + α₂X₂ + ε

 

2.2. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

2.3. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и

мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.

 

3. Экономическая интерпретация

На основе полученных в пунктах 1 и 2 статистических характеристик провести содержательный экономический анализ

зависимости цены автомобиля от его возраста и мощности двигателя.

 

Задача 2.       Временной ряд

В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 2.

Таблица 2

Месяц, t	Объем продаж (тыс.у.е.) zt
1	221
2	171
3	185
4	257
5	281
6	327
7	350
8	366
9	284
10	334
11	386
12	327

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного

графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать её математически.

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда

 

Z_t = γ₀ + γ₁t

 

3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t =15.

 

Задача 3.       Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность

1. Для регрессионных моделей:

 

Y = α₀ + α₁X₁ + α₂X₂ + ε и

Zt = γ₀ + γ₁t + ε

 

с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.

2. Для регрессионной модели

 

Y = α₀ + α₁X₁ + α₂X₂  + ε

 

проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а) парный коэффициент корреляции;

б) критерий «хи-квадрат» χ² на уровне значимости 0,05.