СодержаниеЗадача 1.1.rnИзвестны следующие данные об удельном весе пашни, лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровне рентабельности производства сельскохозяйственной продукции по КСП административных районов области за год:rn№ района rnФактор Уровень рентабельности всей сельскохозяйственнойrnпродукции, %rn Удельный вес пашни в сельскохозяйственных угодьях, % Удельный вес лугов и пастбищ и сельскохозяйственных угодьях, % rn1 80,0 20,0 2,0rn2 87,2 12,8 1,8rn3 90,8 9,2 1,1rn4 94,7 5,3 3,5rn5 81,4 18,6 10,1rn6 89,2 10,8 3,3rn7 71,3 28,7 24,2rn8 86,2 13,8 1,9rn9 71,4 28,6 20,8rn10 77,1 22,9 19,2rn11 86,0 14,0 3,4rn12 87,0 13,0 2,7rn13 87,2 12,8 1,4rn14 75,0 25,0 20,1rn15 86,2 13,8 7,8rn16 86,1 13,9 7,7rn17 85,9 14,1 3,3rn18 94,4 5,6 1,1rn19 84,4 13,6 2,2rn20 98,3 1,7 1,1rnОпределите:rn1) параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей;rna. параметры уравнений зависимости для каждого фактора: отразите их на графике.rnb. Коэффициент и индекс корреляцииrnc. Сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака.rnd. Коэффициент устойчивости связи для каждого фактора.rne. Параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.rn2) Нормативные уровни факторов и результативного показателя:rna. Нормативный уровень результативного показателя (уровня рентабельности) при изменении уровня каждого из факторов на единицу.rnb. Нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя (уровня рентабельности) на единицу.rnРешение:rnРассчитаем параметры зависимости результата от каждого фактора в отдельности.rnПервый фактор.rnОбычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X. rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 80 2,0 6400 160,000 11,387 -9,387 88,110 135,352rn2 87,2 1,8 7603,84 156,960 4,963 -3,163 10,007 45,615rn3 90,8 1,1 8244,64 99,880 1,752 -0,652 0,425 9,398rn4 94,7 3,5 8968,09 331,450 -1,727 5,227 27,327 75,378rn5 81,4 10,1 6625,96 822,140 10,138 -0,038 0,001 0,544rn6 89,2 3,3 7956,64 294,360 3,179 0,121 0,015 1,742rn7 71,3 24,2 5083,69 1725,460 19,148 5,052 25,521 72,846rn8 86,2 1,9 7430,44 163,780 5,856 -3,956 15,646 57,037rn9 71,4 20,8 5097,96 1485,120 19,059 1,741 3,031 25,106rn10 77,1 19,2 5944,41 1480,320 13,974 5,226 27,313 75,359rn11 86 3,4 7396 292,400 6,034 -2,634 6,938 37,981rn12 87 2,7 7569 234,900 5,142 -2,442 5,963 35,210rn13 87,2 1,4 7603,84 122,080 4,963 -3,563 12,698 51,383rn14 75 20,1 5625 1507,500 15,847 4,253 18,086 61,322rn15 86,2 7,8 7430,44 672,360 5,856 1,944 3,781 28,038rn16 86,1 7,7 7413,21 662,970 5,945 1,755 3,081 25,310rn17 85,9 3,3 7378,81 283,470 6,123 -2,823 7,970 40,709rn18 94,4 1,1 8911,36 103,840 -1,460 2,560 6,553 36,912rn19 84,4 2,2 7123,36 185,680 7,461 -5,261 27,682 75,867rn20 98,3 1,1 9662,89 108,130 -4,939 6,039 36,471 87,082rnИтого 1699,8 138,7 145469,6 10892,8 138,7 0,000 326,618 978,193rnСредняя 84,99 6,935 48,910rnСигма 7,084 7,501 — — — — — —rnДисперсия, D 50,179 56,267 — — — — — —rnΔ= 20071,56 — — — — — — —rnΔа0= 1661049 82,756 — — — — —rnΔа1= -17906,3 -0,892 — — — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 20*145469,6 – 1699,8*1699,8 = 20071,56;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 138,7*145469,6–10892,8*1699,8=1661049.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn 20*10892,8 – 138,7*1699,8 = -17906,3.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = -0,892 означает, что при увеличении удельного веса пашни в сельскохозяйственных угодьях на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности снизится на 0,892 % (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = 82,756 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,842, показывает, что выявлена тесная зависимость между удельным весом пашни в сельскохозяйственных угодьях и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,709, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 70,9% из 100% предопределена вариацией удельного пашни в сельскохозяйственных угодьях; роль прочих факторов, влияющих на уровень рентабельности, определяется в 29,1%, что является сравнительно небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=20-1-1=7 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня рентабельности от удельного пашни в сельскохозяйственных угодьях и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 49%. Она указывает на очень невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).rnГрафик 1.rn rnВторой фактор.rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 20,0 2,0 2,89 1,870 -4,958 6,058 36,693 87,347rn2 12,8 1,8 28,09 18,550 -1,717 5,217 27,212 75,221rn3 9,2 1,1 31,36 6,160 -1,446 2,546 6,485 36,719rn4 5,3 3,5 84,64 10,120 1,794 -0,694 0,482 10,014rn5 18,6 10,1 116,64 35,640 3,235 0,065 0,004 0,939rn6 10,8 3,3 163,84 23,040 5,035 -3,235 10,468 46,654rn7 28,7 24,2 163,84 17,920 5,035 -3,635 13,216 52,422rn8 13,8 1,9 169 35,100 5,215 -2,515 6,328 36,272rn9 28,6 20,8 184,96 29,920 5,756 -3,556 12,643 51,271rn10 22,9 19,2 190,44 26,220 5,936 -4,036 16,287 58,193rn11 14,0 3,4 190,44 107,640 5,936 1,864 3,476 26,882rn12 13,0 2,7 193,21 107,030 6,026 1,674 2,803 24,142rn13 12,8 1,4 196 47,600 6,116 -2,716 7,375 39,160rn14 25,0 20,1 198,81 46,530 6,206 -2,906 8,444 41,900rn15 13,8 7,8 345,96 187,860 10,257 -0,157 0,025 2,264rn16 13,9 7,7 400 40,000 11,517 -9,517 90,580 137,236rn17 14,1 3,3 524,41 439,680 14,128 5,072 25,724 73,135rn18 5,6 1,1 625 502,500 16,019 4,081 16,657 58,851rn19 13,6 2,2 817,96 594,880 19,260 1,540 2,373 22,211rn20 1,7 1,1 823,69 694,540 19,350 4,850 23,526 69,940rnИтого 298,2 138,7 5451,18 2972,8 138,7 0,000 310,801 950,774rnСредняя 14,91 6,935 47,539rnСигма 7,089 7,501 — — — — — —rnДисперсия, D 50,251 56,267 — — — — — —rnΔ= 20100,36 — — — — — — —rnΔа0= -130410 -6,488 — — — — —rnΔа1= 18095,66 0,900 — — — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 5451,18 – 298,2,0*298,2 = 20100,36;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 138,7*5451,18 – 2972,8*298,2 = -130410.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn 20*2972,8 – 138,7*298,2 = 18095,66.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,9 означает, что при увеличении удельного веса лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности возрастёт на 0,9 % (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = -6,488 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,8508, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между удельным весом лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,7238, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 72,38% из 100% предопределена вариацией удельного веса лугов и пастбищ и сельскохозяйственных угодьях; роль прочих факторов, влияющих на уровень рентабельности, определяется в 27,62%, что является сравнительно небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 47 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия фактора и результата. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=20-1-1=7 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня рентабельности от удельного веса лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 48%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).rnТаким образом, можно сделать вывод о том, что второй фактор более сильно воздействует на результат, чем первый.rnГрафик 2.rn rnТеперь проанализируем множественную зависимость результата от двух факторов.rn rnx1 – Удельный пашни.rnx2 – удельный вес лугов и пастбищrny – Уровень рентабельности.rnRx1x2 -0,998rnRyx1 -0,842rnRyx2 0,851rnПредставленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что уровень рентабельности -Y тесно связан и с долей пастбищ и лугов и с долей пашни. rnПри построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.rn ;rn ;rnВ результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:rn rnПараметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении доли пашни на одну сигму - (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на 1,77 своей сигмы ( ); с увеличением доли лугов и пастбищ на результат увеличится на 2,62 .Сравнивая - коэффициентов, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае, второй признак влияет сильнее.rnИспользуя значения - коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме: rn rn .rnВ конечном счёте, имеем уравнение: rn .rnПо значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).rnС увеличением доли пашни на 1 %. Уровень рентабельности увеличивается на 1,875%, с увеличением доли пастбищ на 1 % уровень рентабельности возрастает на 2,77%. rnТесноту выявленной зависимости уровня рентабельности от факторов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов: В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:rn .rn rnКак показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость уровня рентабельности от факторов. Это означает, что 73,6% вариации уровня рентабельности определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 26,4% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.rnОценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .rnДля проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.rn .rnВ нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:rn .rnДля принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 20-2-1=17 при α=0,05 Fтабл = 3,59. В силу того, что Fфактич =13,63> Fтабл. = 3,59, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.rn rnЗадача 1.2.rnИзвестны следующие данные об удельном весе пашни, лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровне рентабельности производства сельскохозяйственной продукции по КСП административных районов области за год:rn№ района rnФактор Уровень убыточности животноводства, %rn Удельный вес пашни в сельскохозяйственных угодьях, % Удельный вес лугов и пастбищ и сельскохозяйственных угодьях, % rn1 80,0 20,0 20,0rn2 87,2 12,8 37,5rn3 90,8 9,2 43,4rn4 94,7 5,3 45,6rn5 81,4 18,6 23,4rn6 89,2 10,8 25,0rn7 71,3 28,7 17,2rn8 86,2 13,8 33,3rn9 71,4 28,6 15,0rn10 77,1 22,9 18,7rn11 86,0 14,0 24,8rn12 87,0 13,0 34,5rn13 87,2 12,8 33,1rn14 75,0 25,0 19,2rn15 86,2 13,8 31,8rn16 86,1 13,9 32,9rn17 85,9 14,1 39,7rn18 94,4 5,6 45,8rn19 84,4 13,6 30,3rn20 98,3 1,7 49,1rnОпределите:rn3) параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей;rna. параметры уравнений зависимости для каждого фактора: отразите их на графике.rnb. Коэффициент и индекс корреляцииrnc. Сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака.rnd. Коэффициент устойчивости связи для каждого фактора.rne. Параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.rn4) Нормативные уровни факторов и результативного показателя:rna. Нормативный уровень результативного показателя (уровня рентабельности) при изменении уровня каждого из факторов на единицу.rnb. Нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя (уровня рентабельности) на единицу.rnРешение:rnРассчитаем параметры зависимости результата от каждого фактора в отдельности.rnПервый фактор.rnОбычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X. rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 80 20 6400 1600,000 24,520 -4,520 20,435 14,575rn2 87,2 37,5 7603,84 3270,000 33,891 3,609 13,023 11,635rn3 90,8 43,4 8244,64 3940,720 38,577 4,823 23,264 15,551rn4 94,7 45,6 8968,09 4318,320 43,653 1,947 3,792 6,279rn5 81,4 23,4 6625,96 1904,760 26,343 -2,943 8,659 9,488rn6 89,2 25 7956,64 2230,000 36,494 -11,494 132,120 37,061rn7 71,3 17,2 5083,69 1226,360 13,197 4,003 16,021 12,905rn8 86,2 33,3 7430,44 2870,460 32,590 0,710 0,504 2,290rn9 71,4 15 5097,96 1071,000 13,328 1,672 2,797 5,392rn10 77,1 18,7 5944,41 1441,770 20,746 -2,046 4,187 6,597rn11 86 24,8 7396 2132,800 32,330 -7,530 56,694 24,277rn12 87 34,5 7569 3001,500 33,631 0,869 0,755 2,802rn13 87,2 33,1 7603,84 2886,320 33,891 -0,791 0,626 2,551rn14 75 19,2 5625 1440,000 18,013 1,187 1,409 3,827rn15 86,2 31,8 7430,44 2741,160 32,590 -0,790 0,624 2,547rn16 86,1 32,9 7413,21 2832,690 32,460 0,440 0,194 1,420rn17 85,9 39,7 7378,81 3410,230 32,199 7,501 56,259 24,184rn18 94,4 45,8 8911,36 4323,520 43,262 2,538 6,441 8,183rn19 84,4 30,3 7123,36 2557,320 30,247 0,053 0,003 0,171rn20 98,3 49,1 9662,89 4826,530 48,338 0,762 0,581 2,457rnИтого 1699,8 620,3 145469,6 54025,460 620,3 0,000 348,386 194,191rnСредняя 84,99 31,015 9,710rnСигма 7,084 10,120 rnДисперсия, D 50,179 102,418 rnΔ= 20071,56 — — — — — — —rnΔа0= -1597696,434 -79,600 — — — — —rnΔа1= 26123,26 1,302 — — — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 20071,56;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn -1597696,434.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn 20*10892,8 – 138,7*1699,8 = 26123,26.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = 1,302 означает, что при увеличении удельного веса пашни в сельскохозяйственных угодьях на 1 % (от своей средней) уровень убыточности животноводства увеличится на 1,302 % (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = -79,6 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,9109, показывает, что выявлена тесная зависимость между удельным весом пашни в сельскохозяйственных угодьях и уровнем убыточности производства. Коэффициент детерминации, равный 0,8299, устанавливает, что вариация уровня убыточности животноводства на 82,99% из 100% предопределена вариацией удельного пашни в сельскохозяйственных угодьях; роль прочих факторов, влияющих на уровень убыточности животноводства, определяется в 17,01%, что является сравнительно небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=20-1-1=7 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня убыточности животноводства от удельного пашни в сельскохозяйственных угодьях и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 9,71%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).rnГрафик 1.rn rnВторой фактор.rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 20 20 400 400,000 24,407 -4,407 19,422 14,209rn2 12,8 37,5 163,84 480,000 33,754 3,746 14,031 12,077rn3 9,2 43,4 84,64 399,280 38,428 4,972 24,722 16,032rn4 5,3 45,6 28,09 241,680 43,491 2,109 4,448 6,800rn5 18,6 23,4 345,96 435,240 26,225 -2,825 7,978 9,107rn6 10,8 25 116,64 270,000 36,351 -11,351 128,838 36,597rn7 28,7 17,2 823,69 493,640 13,113 4,087 16,707 13,179rn8 13,8 33,3 190,44 459,540 32,456 0,844 0,712 2,721rn9 28,6 15 817,96 429,000 13,242 1,758 3,089 5,667rn10 22,9 18,7 524,41 428,230 20,642 -1,942 3,772 6,262rn11 14 24,8 196 347,200 32,196 -7,396 54,706 23,848rn12 13 34,5 169 448,500 33,495 1,005 1,011 3,242rn13 12,8 33,1 163,84 423,680 33,754 -0,654 0,428 2,109rn14 25 19,2 625 480,000 17,916 1,284 1,649 4,140rn15 13,8 31,8 190,44 438,840 32,456 -0,656 0,430 2,115rn16 13,9 32,9 193,21 457,310 32,326 0,574 0,329 1,850rn17 14,1 39,7 198,81 559,770 32,067 7,633 58,269 24,612rn18 5,6 45,8 31,36 256,480 43,101 2,699 7,282 8,701rn19 13,6 30,3 184,96 412,080 32,716 -2,416 5,835 7,789rn20 1,7 49,1 2,89 83,470 48,164 0,936 0,875 3,016rnИтого 298,2 620,3 5451,18 7943,94 620,3 0,000 354,537 204,075rnСредняя 14,91 31,015 10,204rnСигма 7,089 10,120 rnДисперсия, D 50,251 102,418 rnΔ= 20100,36 — — — — — — —rnΔа0= 1012484 50,371 — — — — —rnΔа1= -26094,7 -1,298 — — — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 20100,36;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 1012484.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn -26094,7.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 =-1,298 означает, что при увеличении удельного веса лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях на 1 % (от своей средней) уровень убыточности животноводства снизится на 1,298 % (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = 50,731 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень убыточности животноводства.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный -0,909, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между удельным весом лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровнем убыточности животноводства. Коэффициент детерминации, равный 0,827, устанавливает, что вариация уровня убыточности животноводства на 82,7% из 100% предопределена вариацией удельного веса лугов и пастбищ и сельскохозяйственных угодьях; роль прочих факторов, влияющих на уровень убыточности животноводства, определяется в 17,7%, что является сравнительно небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 86 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия результата и фактора. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=20-1-1=7 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня убыточности животноводства от удельного веса лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 10%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).rnГрафик 2.rn rnТеперь проанализируем множественную зависимость результата от двух факторов.rn rnx1 – Удельный пашни.rnx2 – удельный вес лугов и пастбищrny – Уровень убыточности животноводства.rnRx1x2 -0,998rnRyx1 0,911rnRyx2 -0,909rnПредставленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что уровень рентабельности -Y тесно связан и с долей пастбищ и лугов и с долей пашни. rnПри построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.rn ;rn ;rnВ результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:rn rnПараметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении доли пашни на одну сигму - (от своей средней) уровень убыточности животноводства увеличится на 0,892 своей сигмы ( ); с увеличением доли лугов и пастбищ на результат уменьшится на 0,02 . Сравнивая - коэффициентов, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае, второй признак влияет сильнее.rnИспользуя значения - коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме: rn rn .rnВ конечном счёте, имеем уравнение: rn .rnПо значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).rnС увеличением доли пашни на 1 %. Уровень убыточности животноводства увеличивается на 1,274%, с увеличением доли пастбищ на 1 % результат снизится на 0,03%. rnТесноту выявленной зависимости уровня убыточности животноводства от факторов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов: В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:rn .rn rnКак показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость уровня убыточности животноводства от факторов. Это означает, что 82,9% вариации уровня убыточности животноводства определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 17,1% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.rnОценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .rnДля проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.rn .rnВ нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:rn .rnДля принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 20-2-1=17 при α=0,05 Fтабл = 3,59. В силу того, что Fфактич =22,67> Fтабл. = 3,59, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.rn rnЗадача 1.3.rnУровень рентабельности и удельный вес продукции собственного производства и покупной в товарообороте предприятий общественного питания потребительской кооперации области характеризуется следующими данными за год:rn№ района rnУдельный вес в товарообороте, % Уровень рентабельности, %rn Продукции собственного производства Покупной продукции, % rn1 25,5 74,8 2,73rn2 58,2 41,8 5,41rn3 42,2 57,8 4,03rn4 46,8 53,2 4,4rn5 60,5 39,5 5,53rn6 66,1 33,9 6,13rn7 26,5 73,5 2,83rn8 59,9 40,1 5,51rn9 43,2 56,8 4,13rn10 47,8 52,2 4,5rn11 61,8 38,2 5,71rn12 68,1 31,9 6,28rn13 32,0 68,0 3,25rn14 60,2 39,8 5,61rn15 44,2 55,8 4,23rnОпределите:rn5) параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей;rna. параметры уравнений зависимости для каждого фактора: отразите их на графике.rnb. Коэффициент и индекс корреляцииrnc. Сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака.rnd. Коэффициент устойчивости связи для каждого фактора.rne. Параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.rn6) Нормативные уровни факторов и результативного показателя:rna. Нормативный уровень результативного показателя (уровня рентабельности) при изменении уровня каждого из факторов на единицу.rnb. Нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя (уровня рентабельности) на единицу.rnРешение:rnРассчитаем параметры зависимости результата от каждого фактора в отдельности.rnПервый фактор.rnОбычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X. rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 25,5 2,73 650,25 69,615 2,692 0,038 0,001 0,811rn2 58,2 5,41 3387,24 314,862 5,404 0,006 0,000 0,125rn3 42,2 4,03 1780,84 170,066 4,077 -0,047 0,002 1,005rn4 46,8 4,4 2190,24 205,920 4,459 -0,059 0,003 1,251rn5 60,5 5,53 3660,25 334,565 5,595 -0,065 0,004 1,386rn6 66,1 6,13 4369,21 405,193 6,059 0,071 0,005 1,507rn7 26,5 2,83 702,25 74,995 2,775 0,055 0,003 1,175rn8 59,9 5,51 3588,01 330,049 5,545 -0,035 0,001 0,750rn9 43,2 4,13 1866,24 178,416 4,160 -0,030 0,001 0,641rn10 47,8 4,5 2284,84 215,100 4,542 -0,042 0,002 0,887rn11 61,8 5,71 3819,24 352,878 5,703 0,007 0,000 0,155rn12 68,1 6,28 4637,61 427,668 6,225 0,055 0,003 1,168rn13 32 3,25 1024 104,000 3,231 0,019 0,000 0,403rn14 60,2 5,61 3624,04 337,722 5,570 0,040 0,002 0,853rn15 44,2 4,23 1953,64 186,966 4,243 -0,013 0,000 0,277rnИтого 743 70,28 39537,9 3708,015 70,28 0,000 0,028 12,396rnСредняя 49,53333 4,685333 0,826rnСигма 13,502 1,121 rnДисперсия, D 182,309 1,256 rnΔ= 41019,5 — — — — — — —rnΔа0= 23668,467 0,577 — — — — —rnΔа1= 3402,185 0,083 — — — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 410195;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 23668,467.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn 3402,185.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,083 означает, что при увеличении удельного веса продукции собственного производства на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на 0,083 % (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = 0,577 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,999, показывает, что выявлена тесная зависимость между удельным весом собственного производства и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,998, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 99,8% из 100% предопределена вариацией доли собственного производства; роль прочих факторов, влияющих на уровень рентабельности, определяется в 0,1%, что является небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=15-1-1=13 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня рентабельности от доли собственного производства и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 0.8%. Она указывает на очень высокое качество построенной линейной модели.rnГрафик 1.rn rnВторой фактор.rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 74,8 2,73 5595,04 204,204 2,674 0,056 0,003 1,191rn2 41,8 5,41 1747,24 226,138 5,404 0,006 0,000 0,131rn3 57,8 4,03 3340,84 232,934 4,080 -0,050 0,003 1,076rn4 53,2 4,4 2830,24 234,080 4,461 -0,061 0,004 1,300rn5 39,5 5,53 1560,25 218,435 5,594 -0,064 0,004 1,368rn6 33,9 6,13 1149,21 207,807 6,057 0,073 0,005 1,551rn7 73,5 2,83 5402,25 208,005 2,782 0,048 0,002 1,030rn8 40,1 5,51 1608,01 220,951 5,544 -0,034 0,001 0,736rn9 56,8 4,13 3226,24 234,584 4,163 -0,033 0,001 0,707rn10 52,2 4,5 2724,84 234,900 4,544 -0,044 0,002 0,931rn11 38,2 5,71 1459,24 218,122 5,702 0,008 0,000 0,178rn12 31,9 6,28 1017,61 200,332 6,223 0,057 0,003 1,222rn13 68 3,25 4624 221,000 3,237 0,013 0,000 0,284rn14 39,8 5,61 1584,04 223,278 5,569 0,041 0,002 0,869rn15 55,8 4,23 3113,64 236,034 4,246 -0,016 0,000 0,338rnИтого 757,3 70,28 40982,69 3320,804 70,28 0,000 0,031 12,911rnСредняя 50,48667 4,685333 0,861rnСигма 13,538 1,121 rnДисперсия, D 183,276 1,256 rnΔ= 41237,06 — — — — — — —rnΔа0= 365418,6 8,861 — — — — —rnΔа1= -3410,98 -0,083 — — — — —rnrnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 41237,06;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 365418,6.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn -3410,98.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = -0,083 означает, что при увеличении доли покупного производства на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности снизится на -0,083% (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = 8,861 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,999, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между долей покупного производства и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,998, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 99,8% из 100% предопределена вариацией доли покупной продукции; роль прочих факторов, влияющих на очень сравнительно небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 7955 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=15-1-1=13 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня рентабельности от удельного веса покупной продукции и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 0,861%. Она указывает на очень высокое качество построенной линейной модели.rnГрафик 2.rn rnТеперь проанализируем множественную зависимость результата от двух факторов.rn rnx1 – собственное производство.rnx2 – покупное производство.rny – Уровень рентабельности.rnRx1x2 -1,0rnRyx1 0,999rnRyx2 -0,999rnПредставленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что уровень рентабельности -Y тесно связан и с долей покупной продукции и с долей собственной продукции. rnПри построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.rn ;rn ;rnВ результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:rn rnПараметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении доли собственного производства на одну сигму - (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на 2,12 своей сигмы ( ); с увеличением доли покупной продукции на результат уменьшается на 3,12 .Сравнивая - коэффициентов, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае, первый признак влияет сильнее.rnИспользуя значения - коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме: rn rn .rnВ конечном счёте, имеем уравнение: rn .rnПо значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).rnС увеличением доли собственного производства на 1 % уровень рентабельности увеличивается на 0,26%, с увеличением доли покупного производства на 1 % уровень рентабельности снижается на 0,18%. rnТесноту выявленной зависимости уровня рентабельности от факторов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов: В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:rn .rn rnКак показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость уровня рентабельности от факторов. Это означает, что 99,8% вариации уровня рентабельности определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 0,2% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.rnОценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .rnДля проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.rn .rnВ нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:rn .rnДля принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 15-2-1=12 при α=0,05 Fтабл = 3,88. В силу того, что Fфактич =4278> Fтабл. = 3,88, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.rn rnЗадание 1.4.rnИзвестны следующие данные об относительном уровне издержек обращения, производительности труда и уровне рентабельности по магазинам промышленных товаров за год:rn№ района rnОтносительный уровень издержек обращения, % Производительность труда Уровень рентабельности, %rn1 7,89 17646 8,9rn2 14,41 10177 4,3rn3 6,01 19343 10,2rn4 9,17 14789 4,9rn5 6,78 18172 8,3rn6 8,91 17477 7,8rn7 6,17 22110 13,1rn8 10,11 14331 4,9rn9 5,98 24111 13,3rn10 6,1 19393 10,7rn11 5,9 25445 13,7rn12 8,13 17010 5,6rn13 9,01 13137 4,7rn14 6,00 21100 11,1rn15 6,13 19378 10,8rnОпределите:rn1) параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей;rna. параметры уравнений зависимости для каждого фактора: отразите их на графике.rnb. Коэффициент и индекс корреляцииrnc. Сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака.rnd. Коэффициент устойчивости связи для каждого фактора.rne. Параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.rn2) Нормативные уровни факторов и результативного показателя:rna. Нормативный уровень результативного показателя (уровня рентабельности) при изменении уровня каждого из факторов на единицу.rnb. Нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя (уровня рентабельности) на единицу.rnРешение:rnРассчитаем параметры зависимости результата от каждого фактора в отдельности.rnПервый фактор.rnОбычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X. rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rnrn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 7,89 8,9 62,2521 70,221 8,693 0,207 0,043 2,349rn2 14,41 4,3 207,6481 61,963 1,152 3,148 9,909 35,691rn3 6,01 10,2 36,1201 61,302 10,867 -0,667 0,445 7,563rn4 9,17 4,9 84,0889 44,933 7,212 -2,312 5,347 26,218rn5 6,78 8,3 45,9684 56,274 9,977 -1,677 2,811 19,008rn6 8,91 7,8 79,3881 69,498 7,513 0,287 0,082 3,253rn7 6,17 13,1 38,0689 80,827 10,682 2,418 5,847 27,414rn8 10,11 4,9 102,2121 49,539 6,125 -1,225 1,501 13,892rn9 5,98 13,3 35,7604 79,534 10,902 2,398 5,751 27,191rn10 6,1 10,7 37,21 65,270 10,763 -0,063 0,004 0,714rn11 5,9 13,7 34,81 80,830 10,994 2,706 7,321 30,677rn12 8,13 5,6 66,0969 45,528 8,415 -2,815 7,925 31,918rn13 9,01 4,7 81,1801 42,347 7,397 -2,697 7,276 30,583rn14 6 11,1 36 66,600 10,879 0,221 0,049 2,510rn15 6,13 10,8 37,5769 66,204 10,728 0,072 0,005 0,813rnИтого 116,7 132,3 984,381 940,870 132,3 0,000 54,317 259,794rnСредняя 7,78 8,82 17,320rnСигма 2,258 3,231 rnДисперсия, D 5,097 10,439 rnΔ= 1146,825 — — — — — — —rnΔа0= 20434,0773 17,818 — — — — —rnΔа1= -1326,36 -1,157 — — — — —rnrnРасчёт определителя системы выполним по формуле:rn 1146,825;rnРасчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:rn 20434,0773.rnРасчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:rn -1326,36.rnРасчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:rn ; .rnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = -1,157 означает, что при увеличении уровня издержек обращения на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на –1,157 % (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = 17,818 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный -0,808, показывает, что выявлена тесная зависимость между уровнем издержек обращения и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,653, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 65,3% из 100% предопределена вариацией данного фактора; роль прочих факторов, влияющих на уровень рентабельности, определяется в 34,7%, что является небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=15-1-1=13 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости уровня рентабельности от уровня издержек обращения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 17,3%. Она указывает на не очень высокое качество построенной линейной модели.rnГрафик 1.rn rnВторой фактор.rnРасчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.rn№ rn rn rn rn rn rn rnrn1 17646 8,9 311381316 157049,400 8,358 0,542 0,293 6,141rn2 10177 4,3 103571329 43761,100 2,566 1,734 3,008 19,663rn3 19343 10,2 374151649 197298,600 9,674 0,526 0,276 5,959rn4 14789 4,9 218714521 72466,100 6,143 -1,243 1,544 14,088rn5 18172 8,3 330221584 150827,600 8,766 -0,466 0,217 5,287rn6 17477 7,8 305445529 136320,600 8,227 -0,427 0,183 4,844rn7 22110 13,1 488852100 289641,000 11,820 1,280 1,637 14,508rn8 14331 4,9 205377561 70221,900 5,787 -0,887 0,787 10,061rn9 24111 13,3 581340321 320676,300 13,372 -0,072 0,005 0,820rn10 19393 10,7 376088449 207505,100 9,713 0,987 0,974 11,188rn11 25445 13,7 647448025 348596,500 14,407 -0,707 0,500 8,015rn12 17010 5,6 289340100 95256,000 7,865 -2,265 5,131 25,681rn13 13137 4,7 172580769 61743,900 4,861 -0,161 0,026 1,829rn14 21100 11,1 445210000 234210,000 11,037 0,063 0,004 0,713rn15 19378 10,8 375506884 209282,400 9,702 1,098 1,206 12,453rnИтого 273619 132,3 5225230137 2594856,5 132,3 0,000 15,792 141,250rnСредняя 18241,26667 8,82 9,417rnСигма 13,538 1,121 rnДисперсия, D 183,276 1,256 rnΔ= 3511094894 — — — — — — —rnΔа0= -18704093548 -5,327 — — — — —rnΔа1= 2723053,8 0,001 — — — — —rnrnВ конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:rn rnВ уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,001 означает, что при увеличении производительности труда на 1 % (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на 0,001% (от своей средней).rnСвободный член уравнения а0 = -5,327 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на уровень рентабельности.rnДля оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:rn , rnКоэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между уровнем издержек обращения и уровнем рентабельности. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация уровня рентабельности на 99,8% из 100% предопределена вариацией данного фактора; роль прочих факторов, влияющих на очень сравнительно небольшой величиной.rnДля оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).rnВ нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 116 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=15-1-1=13 и уровне значимости α=0,05. rnВ силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости производительности труда и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.rnОценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:rn .rn В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 9,4%. Она указывает на не очень высокое качество построенной линейной модели.rnГрафик 2.rn rnТеперь проанализируем множественную зависимость результата от двух факторов.rn rnx1 – относительный уровень издержек обращения.rnx2 – производительность труда.rny – Уровень рентабельности.rnRx1x2 -0,986rnRyx1 -0,814rnRyx2 0,894rnПредставленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что уровень рентабельности -Y тесно связан и с уровнем издержек обращения и с производительностью труда, кроме того сами факторы сильно взаимодействуют между собой. rnПри построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.rn ;rn ;rnВ результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:rn rnПараметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении уровня издержек обращения на одну сигму - (от своей средней) уровень рентабельности увеличится на 2,38 своей сигмы ( ); с увеличением производительности труда на результат увеличится на 3,24 .Сравнивая - коэффициентов, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой – слабее. В данном случае, второй признак влияет сильнее.rnИспользуя значения - коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме: rn rn .rnВ конечном счёте, имеем уравнение: rn .rnПо значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).rnС увеличением уровня издержек производства на 1 % уровень рентабельности увеличивается на 2,09 %, с увеличением производительности труда на 1 % уровень рентабельности увеличивается на 2,89%. rnТесноту выявленной зависимости уровня рентабельности от факторов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов: В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:rn .rn rnКак показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость уровня рентабельности от факторов. Это означает, что 96% вариации уровня рентабельности определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 4% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.rnОценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .rnДля проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.rn .rnВ нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:rn .rnДля принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 15-2-1=12 при α=0,05 Fтабл = 3,88. В силу того, что Fфактич =73,48> Fтабл. = 3,88, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.ВведениеЛитература
|
|
