Содержание1. Введение
1.1 Некоторые задачи физики 3
2. Производная
2.1 Скорость изменения функции 6
2.2 Производная функция 7
2.3 Производная степенной функции 8
2.4 Геометрический смысл производной 10
2.5 Дифференцирование функций
2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12
2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13
2.6 Производные параметрически заданных функций 15
3. Дифференциал
3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18
3.2 Свойства дифференциала 21
4. Заключение
4.1 Приложение 1. 26
4.2 Приложение 2. 29
5. Список использованной литературы 32Введение1.Введение
1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.
Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.
Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :
Уравнение называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей - графиком движения.
Рассмотрим движение тела в течение интервала времени от некоторого момента до момента . За время тело прошло путь а за время — путь . Значит, за единиц времени оно прошло путь
.
Если движение равномерное, то есть линейная функция :
В этом случае , и отношение показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.
Но если движение неравномерное, то отношение зависит
от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :
В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки на рис. 1) можно провести самые различные линии - графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .
В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок , являющийся графиком равномерного в интервале движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние .
Рис. 1.
Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала , лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скоростьЛитература5. Список использованной литературы
1. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 1, изд. 9, «Наука»,1967.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: 1980.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного - М.:1985.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. - М.: 1985. Т.1
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: 1987.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. - М.: 1970 т. 1, 2.
|
