СодержаниеЗадача №3.
Исходные данные: два сцепленных зубчатых колеса радиусом r1=0,8 м и r2=0,6 м , находящихся во внешнем зацеплении, вращаются вокруг неподвижных осей О1 и О2; их моменты инерции равны соответственно I1=3,92 кг*м2 и I2=1,96 кг*м2. К первому колесу приложен вращающий момент М1=80 Н*м, ко второму колесу момент сопротивления М2=14,7 Н*м.
Определить угловые скорости этих колес и момент t1=1,3 с и давление одного колеса на другое в точке зацепления. Начальная угловая скорость первого колеса ?0=2 с-1.
Решение:
1. Уравнение динамики для вращательного движения имеет вид:
(1)
где IZ – момент инерции тела относительно оси вращения,
? - угловое ускорение,
Mze – момент всех внешних активных сил относительно оси вращения.
Рассмотрим действие всех сил и моментов в точке сцепления зубьев колес. По Третьему Закону Ньютона зубья колес действуют друг на друга с одинаковой силой, но противоположной по направлению. Поэтому взаимодействие моментов сил и моментов инерции можно записать в виде:
М1-I1?1=M2+I2?2 (2)
Угловое ускорение колеса (1) ?1 можно выразить через ускорение колеса (2) соотношением:
это следует из того, что
?1r1=a?2
?2r2=a?2
a?1=a?2
Подставим в выражение (2) известные значения, получим:
80-3,92*?1=14,7+1,96*1,33*?1,
65,03=6,53*?1,
?1=10 с-1. (3)
Чтобы вычислить угловую скорость проинтегрируем значение углового ускорения (3):
,
,
Для определения постоянной интегрирования запишем начальные условия вращения тела. При t=0 в начальном положении имеем:
,
,
С1=2.
Тогда выражение для углового ускорения будет:
с-1
Угловую скорость второго колеса определим из соотношения
это следует из того, что
?1r1=V?1
?2r2=V?2
V?1= V?2
Отсюда : ?2=1,33*15=19,95 с-1
2. Чтобы определить силу, с которой зубья первого колеса действуют на зубья второго колеса в точке их касания, найдем сумму всех действующих и противодействующих сил и разделим ее пополам исходя из условий третьего Закона Ньютона.
Со стороны первого колеса будет действовать пара сил М1=F1*r1
Н,
и сила, вызванная моментом инерции I1:
Н,
Со стороны второго колеса будет действовать пара сил М2=F2*r2
Н,
и сила, вызванная моментом инерции I1:
Н,
Сумма всех сил, действующих на точку касания зубьев колес, будет:
Н
Сила действия зубьев одного колеса на зубья другого будет:
Н
Площадь касания зубьев мала, поэтому зубьев одного колеса на другое
Будет: Р?FЗ=14,45 Н.
Ответ: ?1=15 с-1, ?2=19,95 с-1, Р?14,45 Н.ВведениеЛитература
|
|
