ВАРИАНТ №4

Задание 1

Дан треугольникABC, где $\left( 6;-3 \right)$,   $\left( 9;-2 \right)$,   $\left( 3;1 \right)$. Найти:

1. длину стороны AB;

2. внутренний угол A с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

7. сделать чертеж.

Задание 2

Даны векторы ${{\overline{a}}_{1}},{{\overline{a}}_{2}},{{\overline{a}}_{3}},{{\overline{a}}_{4}},\overline{b}$. Доказать, что векторы ${{\overline{a}}_{1}},{{\overline{a}}_{2}},{{\overline{a}}_{3}},{{\overline{a}}_{4}}$ образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора $\overline{b}$ в этом базисе.

${{\overline{a}}_{1}}\left( -1,3,2,0 \right)$,   ${{\overline{a}}_{2}}\left( 1,-2,0,-1 \right)$,   \[{{\overline{a}}_{3}}\left( 0,1,1,-1 \right)\],   ${{\overline{a}}_{4}}\left( 1,-1,1,2 \right)$,   $\overline{b}\left( 1,0,3,5 \right)$

Задание 3

Найти производные функций:

а) \[y={{\left( \frac{4}{{{x}^{3}}}-\frac{{{x}^{3}}\cdot \sqrt{x}}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}-4{{x}^{2}}\cdot \sqrt[4]{{{x}^{3}}} \right)}^{3}}\]                       б) \[y=\ln \frac{\sin 2x}{ctg3x}\]

в) \[y=\operatorname{arc}tg\sqrt{3{{x}^{2}}-1}\]                                        г) \[y={{16}^{\frac{1}{x-2}}}+\frac{1}{5}{{x}^{5}}\cdot ctg2x\]

Задание 4

Исследовать функцию и построить ее график

\[y=\frac{1+{{x}^{2}}}{1+{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\]

Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а) \[\int{\frac{2x+\cos x}{{{x}^{2}}+\sin x}dx}\];     б) \[\int{\frac{{{e}^{2}}}{{{e}^{x}}+2}dx}\];     в) \[\int{{{x}^{2}}\sin 3x}dx\];     г) \[\int{\frac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x}dx}\]

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

\[{{f}_{1}}\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2x+1\]  и  \[{{f}_{2}}\left( x \right)=-2{{x}^{2}}-2x+2\]