ВАРИАНТ №8

Задание 1

Дан треугольникABC, где \[\left( 5;-4 \right)\],   \[\left( 2;0 \right)\],   \[\left( 8;-3 \right)\]. Найти:

1. длину стороны AB;

2. внутренний угол A с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

7. сделать чертеж.

Задание 2

Даны векторы ${{\overline{a}}_{1}},{{\overline{a}}_{2}},{{\overline{a}}_{3}},{{\overline{a}}_{4}},\overline{b}$. Доказать, что векторы ${{\overline{a}}_{1}},{{\overline{a}}_{2}},{{\overline{a}}_{3}},{{\overline{a}}_{4}}$ образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора $\overline{b}$ в этом базисе.

\[{{\overline{a}}_{1}}\left( -1,2,0,-1 \right)\],   \[{{\overline{a}}_{2}}\left( 0,-1,-2,3 \right)\],   \[{{\overline{a}}_{3}}\left( 1,-3,-2,2 \right)\],   \[{{\overline{a}}_{4}}\left( 0,-1,3,1 \right)\],   \[\overline{b}\left( -1,0,1,5 \right)\]

Задание 3

Найти производные функций:

а) \[y={{\left( \frac{4}{{{x}^{3}}}-\frac{x\cdot \sqrt[3]{x}}{\sqrt[5]{{{x}^{2}}}}+4{{x}^{3}}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}^{3}}\]                       б) \[y=\ln \frac{ctg5x}{\cos 2x}\]

в) \[y=\operatorname{arc}ctg\sqrt{5{{x}^{3}}-1}\]                                     г) \[y=-{{2}^{3\frac{1}{x-2}}}+{{x}^{3}}\cdot ctg\frac{x}{3}\]

Задание 4

Исследовать функцию и построить ее график

\[y=\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]

Задание 5

Найти неопределенные интегралы.

Результаты проверить дифференцированием:

а) \[\int{3{{x}^{2}}\cdot {{e}^{-{{x}^{3}}}}dx}\];     б) \[\int{\frac{{{e}^{x}}}{\sqrt{1-{{e}^{2x}}}}dx}\];     в) \[\int{x{{e}^{-x}}dx}\];     г) \[\int{\frac{{{x}^{3}}+1}{{{x}^{2}}+2x-15}dx}\]

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

\[{{f}_{1}}\left( x \right)=3x+4\]  и  \[{{f}_{2}}\left( x \right)=2{{x}^{2}}+3x+2\]